Geometría y curvatura Gaussiana no constante en superficies de Riemann compactas.

Abstract

Riemann surface, with attempts to naturally extend defined analytic functions over an open U ? C. This was achieved over overlapping open copies of the same. Riemann's current surface theory in addition to making use of complex analysis uses various concepts of topology, algebra and differential geometry. Here we will mention some important aspects of this theory that will be useful for the development of this work. Within the geometric properties of a surface S is its curvature, which is described by two values ??at each point, called principal curvatures (k 1, k 2). A property in R 3 is called intrinsic if it is preserved by isometries, however the main curvatures of a surface are not intrinsic, for example if we consider S 1 the plane x - and embedded in R 3 its main curvatures are k 1 = k 2 = 0 and S 2 the cylinder {(x, y, z) | X 2 + y 2 = 1} we have that its main curvatures are k 1 = 0, k 2 = 1. However if we consider the diffeomorphism f: S 1 ? S 2, f (x, y, z) = (x, Cos y, sin y) this preserves angles of curves, therefore is an isometry. Thinking that the main curvatures are not an intrinsic property, it was Gauss in 1827 who found a particular combination between them which is intrinsic. He found that K = k 1 k 2, now called Gaussian curvature is intrinsic. Within Riemann's theory of surfaces we have two very important theorems that we mentioned below.

Superficie de Riemann, con los intentos de extender de manera natural funciones analíticas definidas sobre un abierto U ? C. Esto se logró sobre copias del mismo abierto que se solapaban. La teoría actual de superficies de Riemann además de hacer uso del análisis complejo utiliza diversos conceptos de topología, algebra y geometría diferencial. A continuación mencionaremos algunos aspectos importantes de esta teoría que nos servirán para el desarrollo de este trabajo. Dentro de las propiedades geométricas de una superficie S se encuentra su curvatura, la cual es descrita por dos valores en cada punto, llamados curvaturas principales (k 1, k 2). Una propiedad en R 3 se llama intrínseca si esta es preservada por isometrías, sin embargo las curvaturas principales de una superficie no son intrínsecas, por ejemplo si consideramos S 1 el plano x ? y encajado en R 3 sus curvaturas principales son k 1 = k 2 = 0 y S 2 el cilindro {(x, y, z) | x 2 + y 2 = 1} tenemos que sus curvaturas principales son k 1 = 0, k 2 = 1. Sin embargo si consideramos el difeomorfismo f: S 1 ? S 2, f (x, y, z) = (x, Cos y, Sin y) este preserva ángulos de curvas, por lo tanto es una isometría. Pensando en que las curvaturas principales no son una propiedad intrínseca, fue Gauss en 1827 quien encontró una particular combinación entre ellas la cual es intrínseca. El encontró que K = k 1 k 2, llamada ahora curvatura Gaussiana es intrínseca. Dentro de la teoría de superficies de Riemann tenemos dos teoremas muy importantes que a continuación mencionamos.