Espacios reflexivos

Abstract

The motivation of this work is to analyze the concept of reflective space. There are many examples of this type of spaces, examples are finite-dimensional topological vector spaces, Hillbert spaces and lp's. Thus, reflective spaces serve both to understand more deeply these important spaces for their use, and to generalize some useful properties that these spaces possess. In the first chapter, concepts such as seminorma, dual space and dual topological space are defined and the Hahn-Banach theorem is defined in two versions, one dealing with continuous linear functionalities and semi-norms that limit them and another that gives a geometric formulation. It will also establish necessary results as a basis for understanding reflective spaces. The second chapter defines reflexivity and demonstrates basic results about the spaces with this property together with a section dedicated to give a condition sufficient for a topological vector space to be reflective, uniform convexity. In the third chapter we define weak and weak topologies * as a special case of F-topologies and we develop results about when a vector space with such topology is complete and tells us if certain subsets of space are compact, emphasizing In its intimate relation with the reflexivity of this space. The fourth chapter presents the concept of Schauder's Base and establishes a characterization of reflexivity in spaces that contain a base of that style, also gives an example of its practical utility in the form of an example of a non-reflective space in That there is an isometric isomorphism between it and its dual dual.

La motivación de este trabajo es analizar el concepto de espacio reflexivo. Hay muchos ejemplos de este tipo de espacios, algunos ejemplos son los espacios vectoriales topológicos de dimensión finita, los espacios Hillbert y los lp’s. Así, los espacios reflexivos sirven tanto para entender m ́as profundamente estos espacios importantes por su uso, como para generalizar algunas propiedades útiles que estos espacios poseen. En el primer capítulo se definen conceptos como seminorma, espacio dual y espacio dual topológico y se enuncia el teorema de Hahn-Banach en dos versiones, una que trata acerca de funcionales lineales continuos y seminormas que los acotan y otro que da una formulación geométrica. También se establecerán resultados necesarios como base para el entendimiento de los espacios reflexivos. El segundo capítulo define reflexividad y demuestra resultados básicos acerca de los espacios con esta propiedad junto con una sección dedicada a dar una condición suficiente para que un espacio vectorial topológico sea reflexivo, la convexidad uniforme. En el tercer capítulo se definen las topologías débil y débil* como un caso especial de F-topologías y se desarrollan resultados acerca de cuándo un espacio vectorial con dicha topología es completo y de que nos dice si ciertos subconjuntos del espacio son compactos, haciendo hincapié en su íntima relación con la reflexividad de dicho espacio. En el cuarto capítulo se presenta el concepto de Base de Schauder y se establece una caracterización de reflexividad en los espacios que contengan una base de ese estilo, también se da un ejemplo de su utilidad práctica en forma de un ejemplo de un espacio no reflexivo en el que existe un isomorfismo isométrico entre él y su doble dual.