Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en regiones planes irregulares usando diferencias finitas

Abstract

Many physical phenomena in engineering and science can be described in terms of differential equations, of which very few are useful and can be solved in closed form; Hence the need to approximate their solutions by numerical methods that are easy to implement and understand. In this work we will use schemes in finite differences due to their simplicity. These can be obtained as a natural application of Taylor's theorem. It is important to mention that the study of how to approximate the solution of an equation in partial derivatives is not something new, there is a vast literature that shows us the various ways to approximate the solution of a certain equation. Depending on the type of equation, parabolic, elliptic or hyperbolic, the schemes are selected to approximate their solution, either using a specific method directly or some combination of them. However, there is still too much to say and to study in this respect, since it is often assumed that the domain is of a very simple geometry: cylindrical, spherical, etc., or elementary variations of these, and the possibility of studying The behavior of solutions of classical equations in more irregular regions, eg the surface of a lake or the continuum of a mountain. However, it is clear that irregular domains appear in nature, so it is necessary to develop schemes in differences that are applicable to meshes structured with non-rectangular cells. In this work we will discuss the previous aspects: the classical schemas in the rectangle, the generation of meshes in irregular regions, and the use of schemes in differences in such meshes.

Muchos fenómenos físicos en ingeniería y ciencias se pueden describir en términos de ecuaciones diferenciales, de las cuales son muy pocas que sean útiles y que puedan resolverse en forma cerrada; de ahí surge la necesidad de aproximar sus soluciones por métodos numéricos que sean fáciles de implementar y entender. En este trabajo emplearemos esquemas en diferencias finitas debido a su sencillez. Estas pueden obtenerse como una aplicación natural del teorema de Taylor. Es importante mencionar que el estudio de cómo aproximar la solución de una ecuación en derivadas parciales no es algo nuevo, se cuenta con una vasta literatura que nos muestra las diversas formas que hay para aproximar la solución de cierta ecuación. Dependiendo del tipo de ecuación, parabólica, elíptica o hiperbólica, se seleccionan los esquemas para aproximar su solución, ya sea empleando un método especifico de forma directa o alguna combinación de ellos. No obstante, aún hay demasiado que decir y estudiar al respecto, pues es frecuente asumir que el dominio es de una geometría muy sencilla: regiones de forma cilíndrica, esféricas, etc., o variaciones elementales de éstas, y se excluye la posibilidad de estudiar el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones clásicas en regiones más irregulares, por ejemplo, la superficie de un lago o el continuo de una montaña. Sin embargo, es claro que los dominios irregulares aparecen en la naturaleza, por lo que es necesario desarrollar esquemas en diferencias que sean aplicables a mallas estructuradas con celdas no rectangulares. En este trabajo discutiremos los aspectos anteriores: los esquemas clásicos en el rectángulo, la generación de mallas en regiones irregulares, y el uso de esquemas en diferencias en tales mallas.