The Continuum Hypothesis (CH) is the statement that every uncountable subset of the real has the same size as the continuum. It was Cantor who made this hypothesis, and devoted much effort to try to prove it. We now know that this is impossible, thanks to the work of Gödel and Cohen, we know that the Continuum Hypothesis is independent of the usual axioms of set theory. Moreover, we know how to force CH or ¬ CH on any base model. When we assume the Continuum Hypothesis, you can create a lot of pathological objects, CH models have very little structure and not many interesting theorems rating structures. Examples for this are the existence of ω1 2c dense subsets of non - real isomorphic , uncountable orders have finite linear basis , the existence of target sets of size 2c ω1 that are not equivalent or Tukey Aronszajn lines not are well quasi ordered . Using ◊ which is a strengthening of CH; is possible to build even more exotic sets, such as trees or destructible Suslin cracks.
La Hipótesis del Continuo (CH) es la afirmación de que todo subconjunto no numerable de los reales tiene el mismo tamaño que el continuo. Fue Cantor quién formuló esta hipótesis, y dedicó gran esfuerzo a tratar de probarla. Actualmente sabemos que esto es imposible, gracias a los trabajos de Gödel y Cohen, sabemos que la Hipótesis del Continuo es independiente de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos. Más aun, sabemos cómo forzar CH o ¬CH sobre cualquier modelo base. Cuando se asume la Hipótesis del Continuo, es posible crear una gran cantidad de objetos patológicos, los modelos de CH tienen muy poca estructura y no hay muchos teoremas de clasificación sobre estructuras interesantes. Ejemplos de este fenómeno son la existencia de 2c subconjuntos ω1-densos de reales no isomorfos, , los órdenes lineales no numerables no tienen base finita, la existencia de 2c conjuntos dirigidos de tamaño ω1 que no son Tukey equivalentes o que las líneas de Aronszajn no están bien quasi ordenadas. Usando ◊ el cual es un fortalecimiento de CH; es posible construir aún más conjuntos exóticos, como son los árboles de Suslin o las grietas destructibles.
