The Dirac equation is one of the fundamental stones of contemporary physics. This wave equation arises from the need to consistently reconcile the postulates of Einstein's Special Relativity on one side of the Quantum, giving rise to the modern paradigm of the existence of Antimatter. Its applications cover many areas of Nuclear Physics , Solid State Physics, among others. The structure that has this wave equation, postulated by the British Paul Adrian Dirac in 1927 and from whom it takes its name, is interesting from several points of view. Mathematically, this equation answers the question of finding a linear differential operator defined in a certain space, the so-called Dirac operator, whose square corresponds to the Laplace operator in that space. From the physical point of view, it adequately describes the dynamics of fermions (particles of spin 1/2), which include leptons and quarks, which are the fundamental components of the matter of our universe. In this thesis, we study several aspects of the Dirac equation, restricting the fermions to move on a two-dimensional surface. This is more than a theoretical simplification, just remember that the Nobel Prize in Physics 2010 was awarded to Andrei Geim and Konstantin Novoselov, who for the first time isolated samples of graphene. This is a crystal, made up of carbon atoms, genuinely two-dimensional in which the charge carriers behave like ultrarelativist (non-massive) Dirac fermions. We consider the case where fermions do not interact with one another but move under the influence of a uniform magnetic field aligned perpendicular to their plane of motion. Under these conditions, it is known that the Dirac equation has a supersymmetric structure in the sense of quantum mechanics.
La ecuación de Dirac es una de las piedras fundamentales de la Física, contemporánea. Esta ecuación de onda surge ante la necesidad de conciliar de manera consistente los postulados de la Relatividad Especial de Einstein por un lado Cuántico por el otro, dando origen al moderno paradigma de la existencia de la Antimateria, Sus aplicaciones abarcan muchas áreas de la física Nuclear, Física del Estado Sólido, entre otras. La estructura que posee esta ecuación de onda, postulada por el británico Paul Adrian Dirac en 1927 y de quien toma su nombre, es interesante desde varios puntos de vista. Matemáticamente, dicha ecuación responde a la pregunta de encontrar un operador diferencial lineal definido en un cierto espacio, el llamado operador de Dirac, cuyo cuadrado corresponde al operador de Laplace en dicho espacio. Desde el punto de vista físico, describe de manera adecuada la dinámica de los fermiones (partículas de espin 1/2), entre los que se incluyen los leptones y los quarks, que son los componentes fundamentales de la materia de nuestro universo. En esta tesis, estudiamos varios aspectos de la ecuación de Dirac, restringiendo a los fermiones a moverse en una superficie bidimensional. Esto es más que una simplificación teórica, basta con recordar que el Premio Nobel de Física de 2010 fue otorgado a Andrei Geim y Konstantin Novoselov, quienes por primera vez aislaron muestras de grafeno. Este es un cristal, formado por átomos de carbono, genuinamente bidimensional en el cual los portadores de carga se comportan como fermiones de Dirac ultrarelativistas (no masivos). Consideramos el caso en que los fermiones no interactúan entre sí pero que se mueven bajo la influencia de un campo magnético uniforme alineado perpendicularmente a su plano de movimiento. Bajo estas condiciones, es sabido que la ecuación de Dirac posee una estructura supersimétrica en el sentido de la Mecánica Cuántica.
