The theory of representations of a group G is the study of homomorphisms φ : G −→ GlK(M), where GlK(M) is the group of invertible endomorphisms of V for a vector space V over a field K. The homomorphism φ is called a representation of G. In this case we have a linear action of G on M, given by g.x = φ(g)(x) for all g ∈ G, x ∈ M. Conversely, let M be a K-vector space and . : G×M −→ M a linear action of the group G on M. Then we have a homomorphism φ : G −→ GlK(M), g 7→ (x 7→ g.x for all x ∈ V ), for all g ∈ G. We say that M is a K[G]-module. We also say that φ is the representation of G induced by M.
La teoría de representaciones de un grupo G es el estudio de homomorfismos φ : G −→ GlK(M), donde GlK(M) es el grupo de endomorfismos invertibles de V para un espacio vectorial V sobre un campo K. El homomorfismo φ es llamado una representación de G. En este caso tenemos una acción lineal de G sobre M, dada por g.x = φ(g)(x) para todo g ∈ G, x ∈ M. Recíprocamente, sea M un K- espacio vectorial y . : G×M −→ M una acción lineal del grupo G sobre M. Entonces tenemos un homomorfismo φ : G −→ GlK(M), g 7→ (x 7→ g.x para todo x ∈ V ), para todo g ∈ G. Decimos que M es un K[G]- módulo. También decimos que φ es la representación de G inducida por M.
