Aproximaciones a π hasta el siglo XVII: un enfoque histórico y de análisis numérico

Abstract

Given its geometric meaning as transcendent number, one of the problems of greater relevance in scientific culture is to approximate the value of precisely arbitrary. In this paper we make a technical and historical review of the different algorithms used for this purpose; including among others the first sketches to regarding the Rhind papyrus, ideas using Archimedes principle exhaución inscribing and circumscribing a circle in regular polygons, the method Liu Hui to evaluate the ratio of the circumference of a circle to its diameter and improvement Zu Chongzhi making this calculation. It speaks briefly of the calculations made by Hindus based on the ideas of Archimedes. We will review the work of Vieta, who an excellent approximation obtained using a technique he called apotomes. Huygens, meanwhile, applied some knowledge of Archimedes enrolling regular polygons in a circle; review the interpolation techniques Wallis, the Gregory series, Nilakantha and Leibniz with which approximated value. Newton in the seventeenth century and quickly applied his knowledge could approximate the value of with 16 decimal places correct. The differences between each of the approaches are emphasized, their accuracy reflected in the order of convergence and how they lead to algorithms that we use today using our modern electronic devices that we allow to approximate a little more modern but not ultimately the value of π.

Dado su significado geométrico y como número trascedente, uno de los problemas de mayor relevancia en la cultura científica es aproximar el valor de con precisión arbitraria. En este trabajo hacemos una revisión técnico-histórica de los diferentes algoritmos empleados para el efecto; incluyendo entre otros los primeros esbozos al respecto en el papiro de Rhind, las ideas de Arquímedes utilizando el principio de exhaución inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en un círculo, el método de Liu Hui para evaluar la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro y la mejora que hace Zu Chongzhi de este cálculo. Se habla someramente de los cálculos hechos por los hindúes basados en las ideas de Arquímedes. Revisaremos el trabajo de Viète, quien obtuvo una excelente aproximación haciendo uso de una técnica que él llamó apotomes. Huygens, por su parte, aplicó algunos de los conocimientos de Arquímedes inscribiendo polígonos regulares en un círculo; revisaremos las técnicas de interpolación de Wallis, las series de Gregory, Nilakantha y Leibniz con las cuales aproximaron el valor de. Newton en el siglo XVII aplicó sus conocimientos y rápidamente pudo aproximar el valor de con 16 lugares decimales correctos. Se enfatizan las diferencias entre cada uno de los enfoques, su nivel de precisión reflejado en el orden de convergencia y la manera en que nos conducen a los algoritmos que empleamos hoy en día empleando nuestros modernos dispositivos electrónicos que nos permiten dar una aproximación un poco más moderna –pero no final- al valor de π