Solución con elementos finitos de EDP en regiones con fronteras irregulares: uso de UNAMalla y COMSOL-Multiphysics y aplicaciones

Abstract

Within the context of classical physics, since the time of Newton, the first two partial differential equations (PDE) of mathematical physics we use today gives to model phenomena of nature. Operationally, the modeling is based on finding solutions to these EDP. However, only very simple domain , with many physical simplifications may be resolved or EDP exact closed form , which makes it necessary to use numerical methods for calculating approximate solutions . One of the methods used in practice is the finite element (FEM), which allows us to approximate the solution of a differential equation in arbitrary domains. Today there is a vast literature that provides diagrams and specific methods for finding exact solutions of parabolic equations, hyperbolic or elliptic type in rectangular, cylindrical, spherical, etc. regions. , Or combinations of these well- known forms. The reality is that there are very few applications that use this type of simple geometries to represent real phenomena found in nature. Even if the differential equations are not very complicated, it is necessary to use alternative methods, and even if you can prove existence and uniqueness of the solution analytically find a task is impossible. Hence the need to solve numerical EDP on irregular regions in two and three-dimensional methods.

Dentro del contexto de la física clásica, desde la época de Newton, surgieron las primeras ecuaciones en derivadas parciales (EDP) de la física matemática que usamos hoy en día para modelar los fenómenos de la naturaleza. Operacionalmente, el modelado se basa en encontrar soluciones para esas EDP. Sin embargo, solo en dominios muy simples, con muchas simplificaciones físicas, es posible resolver las EDP en forma cerrada o exacta, lo que hace necesario usar métodos numéricos para calcular soluciones aproximadas. Uno de los métodos más usados en la práctica es el de elementos finitos (MEF), el cual nos permite aproximar la solución de una ecuación diferencial en dominios arbitrarios. Hoy en día existe una vasta literatura que proporciona esquemas o métodos específicos para encontrar soluciones exactas de ecuaciones del tipo parabólico, hiperbólico o elíptico en regiones rectangulares, cilíndricas, esféricas, etc., o combinaciones de estas formas bien conocidas. La realidad es que hay muy pocas aplicaciones que usen este tipo de geometrías simples para representar fenómenos reales encontrados en la naturaleza. Incluso si las ecuaciones diferenciales no son muy complicadas, es necesario el uso de otros métodos alternativos, ya que aunque se pueda demostrar la unicidad y existencia de la solución, encontrarla en forma analítica es una tarea, imposible. Por eso la necesidad de métodos numéricos para resolver EDP sobre regiones irregulares en dos y tres dimensiones.