Un esquema directo de diferencias finitas para la solución numérica de ecuaciones elípticas en regiones irregulares del plano

Abstract

The vast majority of the physical phenomena that occur in nature can be described using differential equations, since the fall of a body through a fluid to the behavior of a region subject to certain effort after some time. The problem with most of the schemes that describe the nature of the solution is that they cannot be achieved by conventional analytical methods. Only idealized problems in which differential equations are omitted factors present real problems have exact analytical solution. A natural answer to these problems that you cannot find the solution is to find an approximate is good enough. That's when the numerical methods arise. Using computers and different approximation schemes are able to find solutions which, although they are not accurate and have some margin for error, fail to predict the evolution of the phenomenon studied. The scheme used is based on the finite difference. Given the relative simplicity of the design and implementation of the scheme, we try to use it to solve problems whose boundaries have a higher than defined by products of intervals and complexity rectangular regions. Using proper meshing of the region of the problem, you can get results for elliptic equations as shown in this paper. Nowadays, the study of surface meshing, discretization problem and the use of scientific computing are not new to the scientific community, however that does not mean you cannot go deeper into the study and refinement of schemes achieve solutions that are closer to the expected result.

La gran mayoría de los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza se pueden describir usando Ecuaciones Diferenciales, desde la caída de un cuerpo a través de un fluido hasta el comportamiento de una región sometida a cierto esfuerzo después de cierto tiempo. El problema con la mayoría de los esquemas que describen la naturaleza es que la solución a ellos no se puede alcanzar por métodos analíticos convencionales. Solamente los problemas idealizados de ecuaciones diferenciales en los que se omiten factores presentes en problemas reales tienen solución analítica exacta. Una respuesta natural a estos problemas en los que no se puede encontrar la solución, es encontrar un aproximado que sea lo suficientemente bueno. Es entonces cuando surgen los Métodos Numéricos. Con ayuda de computadoras y diferentes esquemas de aproximación se logra encontrar soluciones que, aunque no sean exactas y tengan cierto margen de error, logran predecir la evolución del fenómeno estudiado. El esquema a utilizarse está basado en el esquema de diferencias finitas. Dada la relativa sencillez para la formulación y aplicación del esquema, se intenta hacer uso de éste para dar solución a problemas cuyas fronteras presentan una complejidad mayor que las definidas por productos de intervalos y regiones rectangulares. Con ayuda de un mallado adecuado de la región del problema, se pueden obtener resultados para ecuaciones elípticas como los mostrados en el presente trabajo. Hoy en día, el estudio del mallado de superficies, la discretización de un problema y el uso de cómputo científico no son nuevos para la comunidad científica, sin embargo eso no quiere decir que no se pueda profundizar más en el estudio y refinamiento de esquemas para lograr soluciones que se aproximen más al resultado esperado.