The present work is based on the article Analytic topologies over countable sets [6], Written by Stevo Todorcevi c and Carlos Uzcátegui, throughout this work are analyzed The first sections of the article and further explain the results of the article. He the objective of the paper is to present some results more explicitly, several details. In this paper we will study topologies about countable sets. We can identify each subset of N with its characteristic function. Thus, the power set P (N) is identified with the Cantor 2 N space. For this fact, we can consider each Topology on N as a subset of P (N) and thus we can say that τ is closed, open, Borel, etc. We will analyze what happens with the complexity of a topology as a subset of 2 N if we assume that it fulfills certain topological properties. And vice versa, if τ has some complexity as a subset of 2 N, what happens topologically. In the first chapter we enunciated several results and definitions of general topology and we will interpret these in the particular case of 2 N. We will also study the topology About 2 N. All the results of this chapter will be used throughout the work. In the second chapter, closed topologies and G δ are analyzed. Results are studied on topologies with Baire property. In addition, an example is analyzed Of a G δ-complete topology. In the third chapter we study the complexity of bases and subbases for a topology. In particular, we will study which property a topology needs to have a base F σ And G δ. In the fourth chapter we will study the complexity of the Hausdorff topologies. He the most important result of the chapter tells us that the Hausdorff analytic topologies, Have complexity at least Π 03.
El presente trabajo se basa en el artículo Analytic topologies over countable sets [6], escrito por Stevo Todorˇcevi ́c y Carlos Uzcátegui, a lo largo de este trabajo se analizan las primeras secciones del artículo y se explican más a fondo los resultados de éste. El objetivo del trabajo es presentar algunos resultados de manera más explícita, agregando varios detalles. En este trabajo estudiaremos topologías sobre conjuntos numerables. Podemos identificar a cada subconjunto de N con su función característica. Así, el conjunto potencia P(N) se identifica con el espacio de Cantor 2 N. Por este hecho, podemos considerar a cada topología sobre N como un subconjunto de P(N) y de esta manera podremos decir que τ es cerrado, abierto, Borel, etc. Analizaremos qué pasa con la complejidad de una topología como subconjunto de 2 N si suponemos que cumple ciertas propiedades topológicas. Y viceversa, si τ tiene cierta complejidad como subconjunto de 2 N, qué pasa topológicamente. En el primer capítulo enunciamos varios resultados y definiciones de topología general e interpretaremos éstas en el caso particular de 2 N. También estudiaremos la topología sobre 2 N. Todos los resultados de este capítulo se utilizarán a lo largo de todo el trabajo. En el segundo capítulo se analizan topologías cerradas y G δ. Se estudian resultados importantes sobre topologías con la propiedad de Baire. Además, se analiza un ejemplo de una topología G δ -completa. En el tercer capítulo se estudia la complejidad de bases y subbases para una topología. En particular, estudiaremos qué propiedad necesita una topología para tener una base F σ y G δ. En el cuarto capítulo estudiaremos la complejidad de las topologías Hausdorff. El resultado más importante del capítulo nos dice que las topologías analíticas Hausdorff, tienen complejidad al menos Π 03.
