Consider the finite field Fqn. This field can be viewed as a n-dimensional vector space over Fq, thus, it has a basis formed by n elements of Fqn. A basis of the form {α, αq , αq2 , ..., αqn−1 } with α ∈ Fqn is called normal basis of Fqn over Fq . When an element is identified by its coordinate vector in this basis, its q-th power has the same vector, but shifted to the right one position. Multiplication with respect to a normal basis can be defined in terms of a certain bilinear form represented by a matrix. We define the complexity of that normal basis to be the number of nonzero entries in this matrix. An argument due to Mullin et al. shows that this matrix has at least 2n − 1 non zero entries. If it contains exactly 2n − 1 non zero entries, then the normal basis is said to be optimal. In this dissertation is explained and described the stage of normal bases in finite fields. Normal Bases Theorem is showed and the normal elements of Fqn over Fq were characterized. The argument due to Mullin et al. is exposed. On the one hand, the criteria for constructing optimal normal bases is analyzed, on the other hand the classification of all optimal normal bases is explained. The proofs of results were detailed, the facts that are assumed true in original sources were isolated in lemas, which were shown for get clear proofs. An equivalent and alternative formulation is proposed of Theorem due S. Gao, which allows to construct optimal normal bases and low complexity normal bases. Finally, explanatory observations about the objects into the statement of this Theorem are made in the form of propositions.
Consideremos el campo finito Fqn . Dicho campo puede verse como un espacio vectorial de dimensión n sobre Fq, as ́ı, tiene una base formada por n elementos de Fqn. Una base de la forma {α,αq,αq2,...,αqn−1} con α ∈ Fqn se llama base normal de Fqn sobre Fq. Cuando un elemento se identifica con su vector de coordenadas en esta base, su potencia q-ésima tiene el mismo vector pero rotado una posición a la derecha. La multiplicación con respecto a una base normal puede ser definida en términos de una cierta forma bilineal representada por una matriz, se define entonces la complejidad de esa base normal como el número de entradas distintas de cero en dicha matriz. Un argumento debido a Mullin et al. muestra que dicha matriz tiene al menos 2n − 1 entradas distintas de cero. Cuando tiene exactamente 2n − 1 entradas distintas de cero, la base normal se dice que es ́optima. En esta tesina se explica y describe el escenario de las bases normales en campos finitos. Se prueba el Teorema de la Base Normal y se caracteriza a los elementos normales de Fqn sobre Fq. Se expone el argumento de Mullin et al., se explican por un lado los criterios para construir bases normales ́optimas y por otro lado su clasificación.
Las pruebas de los resultados fueron detalladas, los hechos que en las fuentes originales se dan por sentados se aislaron en lemas, los cuales fueron demostrados para conseguir pruebas claras. Se propone una formulación equivalente y alternativa al Teorema de S. Gao que permite construir bases normales ́optimas y de baja complejidad, además se hacen observaciones aclaratorias en la forma de proposiciones, relativas a los objetos que participan en el enunciado de dicho Teorema.
