Ordinary and partial differential equations, mathematical modeling and numerical methods form the deep infrastructure of science and engineering. This historical fact, emerged from the activities of Newton and Leibnitz, discoverers of the differential and integral calculus. The exponential use of electronic computers, starting from the 1940s, accelerated this process. The search for a better understanding of nature and its applications were the driving forces of scientific and technological developments in the whole history of humanity. The computational package Mathematica is one of the most important software for numeric and symbolic calculations applied to physics and engineering. It contains powerful utilities for the solution of ordinary and partial differential equations, both in symbolic-analytical form, and in numerical form. It is therefore, a very valuable tool and its application are shown in this work. In this thesis, programs for students and university professors are developed using the Mathematica language, covering classic themes of ordinary differential equations (ODE) and of Partial Differential Equations (PDE), each one programmed in Mathematica. For ODE, it is posed the different classical methods of solution (exact, linear, homogeneous, etc.), systems of ordinary differential equations, Laplace Transform and Fourier series. For the PDE specific techniques were programmed such as separation of variables (heat equation, wave equation, and Laplace equation), Eigen functions expansion (heat equation, wave equation and Laplace equation). An introduction to Spectral Methods is included. The basic theory is presented and illustrated with solved examples, including graphics of all the obtained solutions.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el modelado matemático y los métodos numéricos conforman la infraestructura profunda de las ciencias y de las ingenierías. Este hecho histórico, surgió de las actividades de Newton y Leibnitz, descubridores del Cálculo Diferencial e Integral. El uso exponencial del cómputo electrónico, a partir de la década de 1940, aceleró este proceso. La búsqueda de una mejor comprensión de la naturaleza y sus aplicaciones fueron las fuerzas conductoras del desarrollo científico y tecnológico en toda la historia de la humanidad. El paquete computacional Mathematica es uno de los más importantes en el cálculo numérico y simbólico aplica- do a la física y a la ingeniería. Contiene potentes utilerías para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, tanto en forma simbólica-analítica, como numérica. Es por tanto, una herramienta muy valiosa y se muestra su aplicación en este trabajo. En esta tesis se desarrollan programas con Mathematica para estudiantes y profesores universitarios, abarcando temas de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) cl ́asicas, cada uno programado en Mathematica. Para las EDO, se plantean los diferentes métodos clásicos de solución (exactas, lineales, homogéneas, etc.), Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Transformada de Laplace y Series de Fourier. Para las EDP se programaron las técnicas de Separación de Variables (ecuación del calor, ecuación de onda, ecuación de Laplace), expansión en Eigen funciones (ecuación del calor, ecuación de onda, ecuación de Laplace), as ́ı mismo se incluye una introducción a los Métodos Espectrales. Presento la teoría básica y la ilustro con ejemplos resueltos, incluyendo gráficas de todas las soluciones.
