Las bifurcaciones uniparamétricas de la dinámica neuronal

Abstract

This work is devoted to show the main results of the relationship between bifurcations and the computational properties of neurons from two dimensional models. We study why cells having nearly identical currents may undergo distinct bifurcations, and hence they will have fundamentally different neuro- computational properties. From a mathematical point of view, we introduce basic terminology of dynamical systems, topological equivalence, bifurcations, structural stability and one-parameter bifurcations of equilibria in continuous-time two dimensional dynamical systems. Two generic codim 1 bifurcations, saddle-node (fold) and Hopf, are studied in detail following the same general approach: (1) formulation of the corresponding topological normal form and analysis of its bifurcations; (2) reduction of a generic parameter dependent system to the normal form up to terms of a certain order; and (3) demonstration that higher-order terms do not affect the local bifurcation diagram.

Este trabajo está dedicado a mostrar los principales resultados de la relación entre las bifurcaciones y las propiedades neurocomputacionales de las neuronas a partir de modelos bidimensionales. Estudiamos porque las células que tienen corrientes casi idénticas pueden producir bifurcaciones distintas y en consecuencia tienen propiedades neurocomputacionales fundamentalmente diferentes. Desde el punto de vista matemático, introducimos la terminología básica de los sistemas dinámicos, la equivalencia topológica, las bifurcaciones, estabilidad estructural y bifurcaciones uniparamétricas en sistemas de tiempo continuos. Se estudian dos bifurcaciones genéricas uniparamétricas bidimensionales, la de silla nodo y la de Hopf mostrando el enfoque general: (1) la formulación de la forma normal correspondiente y el análisis de sus bifurcaciones; (2) reducción de un sistema genérico dependiente de un parámetro a la forma normal con los términos hasta cierto orden, y (3) la demostración de que los términos de orden superior no afectan el diagrama de bifurcación local. Se identifican las cuatro bifurcaciones uniparamétricas de la variación de voltaje trans-membranal local con modelos bidimensionales.