I-ultrafiltros, existencia genérica y algunas relaciones de Katětov

Abstract

This paper is concerned with classes of ultrafilters and when they are characterized by ideals on countable sets. This is achieved by comparing the dual ideals of ultrafilters in Katetov order with some given ideal. On the other hand, we are interested in the existence of classes of ultrafilters, particularly of I-ultrafilters. In the first chapter we stablish the basic properties of I-ultrafilters, and we define the cardinal invariant cof (I) associated to an ideal I, which leads to formulate the concept of generic existence. We stablish characterizations for Ramsey ultrafilters, p-points and q-points as I-ultrafilters. Finally, we show an example of an analytic ideal which invariant cof (I) is equal to the cardinality of the continuum, leaving open the question whether the same property can be satisfied by a Borel ideal. In the second chapter we stablish the denial of some Katetov relations between some ideals, which opens the possibility to distinguish between classes of I-ultrafilters. Using some forcing techniques and the absoluteness of Katetov order for Borel ideals, we prove that Gfc K S and S K EDfin. We also prove that Gfc K nwd by using standards methods in ZFC. In light of this result, we build a Hausdor ultrafilter (characterized as a Gfc-ultrafilter) which is not a nwd-ultrafilter, which constitutes the main contribution of this work.

El presente trabajo tiene que ver con clases de ultrafiltros y cuando estas están caracterizadas por ideales sobre conjuntos numerables. Esto se consigue comparando los ideales duales de ultrafiltros en el orden de Kat etov con algún ideal dado. Por otro lado, nos interesa la existencia de clases de ultrafiltros, particularmente de I-ultra litros. En el primer capítulo se establecen las propiedades básicas de los I-ultrafiltros, y se define el invariante cardinal cof (I) asociado a un ideal I, lo cual lleva a formular el concepto de existencia genérica. Se establecen las caracterizaciones de ultrafiltros Ramsey, p-puntos y q-puntos como I-ultrafiltros. Finalmente, se exhibe un ejemplo de un ideal analítico cuyo invariante cof (I) es igual a la cardinalidad del continuo, dejando abierta la pregunta si esta misma propiedad puede ser satisfecha por un ideal Borel. En el segundo capítulo se establece la negación de ciertas relaciones de Katetov entre algunos ideales, lo cual abre la posibilidad de distinguir entre clases de I-ultrafiltros. Utilizando técnicas de forcing, así como la absolutez del orden de Kat etov para ideales Borel, se prueba que Gfc K S y que S K EDfin. También se prueba que Gfc K nwd por métodos estándar en ZFC. A la luz de este resultado, se realiza la construcción de un ultrafiltro Hausdor (caracterizado como Gfc-ultra ltro) que no es nwd-ultrafiltro, lo cual constituye la principal aportación de este trabajo.