Derivación del operador de Dirac en la esfera por el método de Cartan

Abstract

In the first chapter some fundamental concepts of quantum mechanics are reviewed and briefly describes a construction of the Dirac equation in (3 + 1) dimensions. In the second chapter elements of group theory are introduced, the group SU (2) is defined and construct their representations. In the next chapter key concepts of differential geometry, the covariant derivative as defined; the spin connection on the sphere is built and the method of Cartan is exposed, using it to obtain the Dirac equation on the sphere. The conclusions talks about the advantages of this method and applications of the Dirac equation on the sphere. At the end two appendices are added: one on Lie groups and other where the spectrum of the Dirac operator on the sphere is obtained.

En el primer capítulo se repasan algunos conceptos fundamentales de la mecánica cuántica y se expone brevemente una construcción de la ecuación de Dirac en (3 + 1) dimensiones. En el segundo capítulo se introducen elementos de la teoría de grupos, se define el grupo SU (2) y se construyen sus representaciones. En el siguiente capítulo se definen conceptos claves de geometría diferencial, como la derivada covariante; se construye la conexión de espín en la esfera y se expone el método de Cartan, usándolo para obtener la ecuación de Dirac en la esfera. En las conclusiones se habla de las ventajas de este método y de las aplicaciones de la ecuación de Dirac en la esfera. Al final se agregan dos apéndices: uno acerca de los grupos de Lie y otro donde se obtiene el espectro del operador de Dirac en la esfera.