In the present work we show a theoretical numerical study to calculate the band structure of a Photonic Crystal by means of two rigorous methods. The first technique is the plane wave expansion method, which is limited to systems with complicated periodic geometries. This method consist in making a Fourier series expansion of the periodic functions that define the dielectric function and the electric or magnetic field. This expansions are used in the wave equation to obtain an eigenvalue equation and his solution give as a result the photonic band structure. We apply this method to study a one dimensional photonic crystal made of an infinity multilayer system, varying the wave number, the length of the layers that model the unitary cell and the index of refraction that characterize the materials. The second technique is the integral equation method that has a great advantage over other methods; which is taking into account only a finite number of sample points over the contour of the primitive cell and his inclusion, allowing a minor use of computational resources. The integral method also allows the of study different aspects of these systems that has complicated geometries; in particular the random roughness in the surface of a photonic crystal. We apply this method to calculate the band structure of an infinity bidimensional photonic crystal made by one square unitary cell with arbitrary inclusions that have a smooth surface or randomly rough surface.
En el presente trabajo mostramos un estudio teórico y numérico para calcular la estructura de bandas de un Cristal Fotónico por medio de dos métodos rigurosos. La primera técnica es el método de expansión de ondas planas, el cual está limitado para sistemas periódicos con geometrías complicadas. Este método consiste en hacer una expansión en serie de Fourier las funciones periódicas que definen a la función dieléctrica y al campo eléctrico o magnético. Estas expansiones se utilizan en la ecuación de onda para obtener una ecuación de valores propios y su solución da como resultado la estructura de bandas fotónicas. Aplicamos este método para estudiar un cristal fotónico unidimensional formado por un sistema de multicapas infinito, variando el número de ondas, la longitud de las capas que modelan la celda unitaria y el índice de refracción que caracterizan los materiales. La segunda técnica es el método de la ecuación integral que tiene una gran ventaja en comparación de otros métodos; la cual es sólo tener en cuenta un número finito de puntos de muestreo a lo largo de los contornos de la celda unitaria y de su inclusión, permitiendo una menor cantidad de recursos computacionales. Además el método integral permite estudiar diferentes aspectos de estos sistemas que tienen geometrías complicadas; en particular la rugosidad aleatoria en la superficie de los cristales fotónicos. Aplicamos este método para calcular la estructura de bandas de un cristal fotónico bidimensional infinito formado por una celda unitaria cuadrada con inclusiones arbitrarias que tienen una superficie suave o aleatoriamente rugosa. Estas estructuras fueron analizadas para los casos de la polarización del campo eléctrico transversal (TE) y del campo magnético transversal (TM). Este estudio numérico se hizo para diferentes tipos de materiales dieléctricos variando las fracciones de llenado y el grado de la rugosidad.
