Propiedad del punto fijo en continuos

Abstract

We study the fixed point property of continua. We start giving basics notions in order to define the topological space which we are interested, the continua. A continuum is a metric, compact, connected and not empty space. We give an introduction about continuum theory in order to define formally fixed point property. If X is a topological space and f is a continuous function from X to X, we say that X has the fixed point property if exists x inX such that f (x) = x. The n-cell is an interesting type of continua. The fact of the n-cell has the fixed point property gives us important applications in economics, differential equations, physics, etc. Throughout the paper, we study different continuum, and use many techniques in order to prove the property, dendrites that are an infinity subset are an interesting case of continua, through trees we will approach it, and we will have shown that trees have fixed point property. In this paper, we will give a demonstration of Brouwer Fixed Point Theorem in two dimensions, that is, to the two-cell, using algebraic topology results, like the fundamental group and covering spaces. Finally, we give an application of Brouwer Theorem. Word keys: Fixed point, continuum, dendrites, Brouwer, fundamental group.

En este trabajo estudiamos la propiedad del punto fijo en continuos. Empezaremos dando las nociones básicas para definir el espacio topológico de nuestro interés, los continuos. Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y no vacío. Daremos una introducción a la teoría de continuos para después definir la propiedad del punto fijo. Si X es un espacio topológico y f es una función continua de X en X, decimos que X tiene la propiedad del punto fijo si existe x ∈ X tal que f (x) = x. Los continuos son espacios muy interesantes dentro de los cuales se encuentra la n-celda. El hecho de que la n-celda tenga la propiedad del punto fijo, nos da importantes aplicaciones en economía, ecuaciones diferenciales, física, etc. A lo largo del trabajo, estudiamos diferentes continuos, y utilizamos diversas técnicas para demostrar la propiedad, un caso interesante son las dendritas, a las cuales nos aproximaremos mediante árboles, por lo que antes habremos demostrado que los ́arboles tienen la propiedad del punto fijo. En este trabajo, daremos una demostración del Teorema del punto fijo de Brouwer para dimensión 2, es decir, para la 2-celda, utilizando resultados de topología algebraica como lo son el grupo fundamental y espacios cubrientes. Finalmente, daremos una aplicación del Teorema de Brouwer.