Teoremas de estructura y clasificación en grupos Abelianos

Abstract

This work consists in studying the classical results of structure and classification theorems of different types of abelian groups. We give the general definitions, as well as the important results of group theory which are necessary for establishing the theorems. The different types for which the structure and classification theorems are established are the following: Cyclic groups (those generated for only one element). These are Z and Z n where n ∈ N. Divisible groups (those in which the equation nx = has always solution for n ∈ N and a in the group A). These groups are direct sums of Q-copies (Q the rational group) and Z p ∞ -copies for some p primes. Free groups (those which have a base). These are direct sum of Z-copies and they are determinate by its rank (dimension). Finitely generated groups (those generated by a finite set). We can write them as follow: Z d 1 ⊕ Z d 2 ⊕ · · · ⊕ Z d n ⊕ Z r where d 1 |d 2 | · · · |d n. Rational groups (subgroups of Q). These groups are determined by its type in a unique form, which is an equivalence relation (according to certain relation) of number sequences with elements in N ∪ {0, ∞}. Particularly, it is shown that there is a uncountable quantity of them.

El trabajo consiste en estudiar los resultados clásicos sobre teoremas de estructura y clasificación de distintas clases de grupos abelianos. Se dan las definiciones generales, así como los resultados importantes de teoría de grupos necesarios para poder establecer los teoremas. Las distintas clases para los que se establecen los teoremas de estructura y clasificación son los siguientes: • Los grupos cíclicos (aquéllos generados por un solo elemento). Éstos son Z y Z n, con n ∈ N. •Los grupos divisibles (aquéllos en los que la ecuación nx = a siempre tiene solución para n ∈ N y a en el grupo A). Éstos resultan ser sumas directas en forma única de copias de Q (el grupo de los números racionales) y copias de Z p ∞ para primos p. •Los grupos libres (aquéllos que tienen base). Éstos son suma directa de copias de Z y están determinados por su rango (o dimensión). •Los grupos finitamente generados (aquéllos que pueden generarse con sólo un número finito de elementos). Aquí el teorema de estructura y clasificación dice que son de la forma con: Z d 1 ⊕ Z d 2 ⊕ · · · ⊕ Z d n ⊕ Z r, con d 1 |d 2 | · · · |d n. •Los grupos racionales (subgrupos de Q). Estos grupos quedan determinados de manera única por su tipo, el cual es la clase de equivalencia (según cierta relación) de sucesiones de números en N ∪ {0, ∞}. En particular se ve que hay una cantidad no numerable de grupos racionales no isomorfos.