División justa: antecedentes, algoritmos y geometría

Abstract

This works consists in analyzing the background in Fair Division problems, as well as giving an introduction to distinct ways to study the central problem. First we must talk about Utility Theory and then we will develop enough Game Theory in order that the reader is familiar with mathematics for dispute resolution and also get to know the theorems, results and some of the most important applications on the field. In subsequent chapters we will give the motivation for the Fair Division problem, general definitions, a brief goods classification and the suppositions one must assume in order to give formality to this theory. Once given this, the next step is to give algorithms for reaching Fair Division and other variations of the problem. Finally we will give a geometric structure to the problem, with which we can generalize, give geometrical interpretations to the previous definitions, proof some theorems and give an argument of why there is always a solution to the problem when it comes to certain types of goods to be divided.

Este trabajo consiste en analizar los antecedentes más cercanos al problema de la División Justa, así como introducir distintas formas de estudiar el problema central. Para esto primero hablaremos sobre Teoría de Utilidad y desarrollaremos una buena parte de Teoría de Juegos con la finalidad de que el lector se familiarice con matemáticas para la resolución de conflictos y además conozca los teoremas, resultados y algunas de las aplicaciones más importantes del área. En los capítulos posteriores se dará la motivación del problema, las definiciones generales, un breve análisis de la clasificación de bienes y las suposiciones que uno debe hacer para estudiar formalmente la teoría. Una vez dado esto, el siguiente paso será dar algoritmos para lograr División Justa y otras variaciones del problema. Finalmente daremos una estructura geométrica al problema, con la cual podemos generalizar, dar interpretaciones a las definiciones básicas, demostrar teoremas y dar una justificación de porqué siempre existe una forma de solucionar el problema cuando se trata de cierto tipo de bienes a dividirse.