Torsión de Whitehead

Abstract

Homotopy as a tool which generates topological invariants, it begins defining an equivalence relationship over functions which extends to spaces. So it allows us to define an equivalence relationship weaker than homeomorphism. But it’s very hard to determine when two topological spaces have the same homotopy type. A new perspective to solve this is to work in discrete terms; defining a new equivalence relationship called simple homotopy type. Starting with this we define what is a simple homotopy equivalence. To compare the classic theory with the one just presented, we give the construction of a functor in geometric terms, which assigned a group to each space. Then it becomes richer with the algebraic construction, finally we prove that both are equivalent. We construct a very important invariant over the Whitehead groups (Whitehead’s torsion) which gives us information that in the classic homotopy we wouldn’t have.

La homotopía como una herramienta generadora de invariantes topológicos empieza definiendo una relación de equivalencia sobre funciones que se extiende a espacios. Así permite definir una relación de equivalencia más débil que la de homeomorfismo. Sin embargo es difícil determinar cuándo dos espacios topológicos tienen el mismo tipo de homotopía. Un enfoque para resolver esto es el trabajar en términos discretos; definiendo una nueva relación de equivalencia sobre espacios (complejos CW) llamada tipo de homotopía simple. A partir de esta se define una equivalencia de homotopía simple. Para comparar la teoría clásica con la recién introducida se dará la construcción de un funtor en términos geométricos, que asocia un grupo a cada espacio. Se enriquece con la construcción algebraica y posteriormente se demuestra que ambas construcciones son equivalentes. Sobre los grupos de Whitehead construiremos un invariante muy importante (torsión de Whitehead) el cual arroja información que en la teoría de homotopía clásica no se tendría.