Una implementación del método de diferencias finitas para aproximar las ecuaciones linealizadas de Saint Venant en el plano

Abstract

Due to the serious results of the oil spill in the Gulf of Mexico, the priority of the oil industry is to obtain oil resources in the shallow water and mature fields. Saint Venant or Shallow Water equations can be used in this and multiple contexts. In this paper we present an approximation to the linearized Saint Venant equations in the plane, using finite difference schemes. In the first part we give some general notions, to show later how St. Venant equations are derived from conservation laws of mass, momentum, and energy, we first obtaining the conservative form these equations, and then from these considering the speeds at x, y as constant speeds plus a small perturbation of an average, we get the linearized St. Venant equations. The method of finite difference is obtained from expanding Taylor series around a certain point, in chapter 2 we show how the difference schemes are obtained also how to know if they can be converging from consistency and stability. To use the method of finite differences we need to work on discretized the domain, in this chapter also it is talking about how the meshing of rectangular domains is obtained, in addition we enunciated what the generalized finite differences over uneven regions is, we speak about one of the usual methods to approximate this kind of equations, finite volumes. For the approximations to the equations of Shallow Water we have proposed three different schemes in differences, which are called FTCS ”, Differences in direction of the advective terms” and Crusades Differences ” of this last we got the polynomial-growth matrix by analysis of Von Neumann, this matrix gives us tools so that our method results conditionally stable result.

Debido a los graves resultados del derrame de crudo en el Golfo, la prioridad de la industria petrolera es obtener recursos petroleros de las aguas someras y campos maduros. Las ecuaciones de Saint Venant o de Aguas Someras, pueden ser utilizadas como en este en múltiples contextos. En este trabajo presentamos una aproximación a las ecuaciones Linealizadas de Saint Venant en el plano, mediante el uso de esquemas en diferencias finitas. En la primera parte damos algunas nociones generales, para posteriormente mostrar cómo se derivan las ecuaciones de St. Venant a partir de leyes de conservación, obteniendo primeramente la forma conservativa de estas ecuaciones, para luego a partir de estas, de considerar las velocidades en x, y como una velocidad constante más una pequeña perturbación de un promedio, obtener las ecuaciones Linealizadas de St. Venant. El método de diferencias finitas, se obtiene a partir de expandir en serie de Taylor alrededor cierto punto, en el capítulo 2 mostraremos la forma en que se obtienen los esquemas en diferencias, también como saber si pueden ser convergentes a partir de consistencia y estabilidad. Para hacer uso del método de diferencias finitas necesitamos trabajar en discretizar del dominio, en este capítulo también se habla de cómo se obtiene el mallado de dominios rectangulares, además se enuncia lo que son las diferencias finitas generalizadas sobre regiones irregulares, así como uno de los métodos más usuales para obtener aproximaciones a este tipo de ecuaciones el cual es volúmenes finitos. Para obtener las aproximaciones a las ecuaciones de aguas bajas se proponen 3 esquemas en diferencias, los cuales son llamados ”FTCS”, ”Diferencias en dirección de los términos advectivos”, y ”Diferencias Cruzadas”, de este último obtuvimos el polinomio-matriz de crecimiento mediante el análisis de Von Neumman, esta matriz nos aporta herramientas para que nuestro método resulte condicionalmente estable.