A numerical solution to the reaction-diffusion equation applied to brain tumors is a thesis that presents a code capable of simulating numerically in two and three dimensions the space-temporal evolution of cancerous brain tumors, based on the reaction-diffusion equation and its numerical solution. The work presents the validity of the usage of reaction diffusion models on the study of this kind of tumors. It also describes the numerical methods used to solve the initial value problem of the system. In addition, we show the developed tools that allowed us to use anatomically realistic human brain geometries in two and three dimensions. The importance of a geometrically accurate anatomy lies in the fact that tumors diffuse at different speed in grey or white matter, so it is required a careful interpretation of a brain magnetic resonance image into our numerical domain. With such anatomy we analyze the numerical evolution of different types of tumors undergoing diverse initial conditions and different positions inside the brain, which allows us to estimate the deadliness of the tumor. Finally, we include, in the model and in the three-dimensional code, the impact of treatments such as resection of the tumor and chemotherapy towards the evolution of the tumors. Aside, we verify the results by comparing them with previous numerical and clinical results. At the end, we expect that this tool is capable of being used for medical purposes at the medium term.
Solución numérica de la ecuación de reacción-difusión aplicada a tumores cerebrales es una tesis que presenta un código capaz de simular numéricamente en dos y tres dimensiones la evolución espacio-temporal de tumores cancerosos en el cerebro con base en la ecuación de reacción-difusión y su solución numérica. El trabajo presenta la validez del uso de modelos de reacción-difusión en el estudio de tumores cancerosos en el cerebro. También se describen los métodos numéricos usados para resolver el problema de valores iniciales del sistema. Posteriormente se muestran las herramientas desarrolladas que permitieron usar geometrías realistas que describen la anatomía del cerebro humano en dos y tres dimensiones. La importancia de la anatomía radica en que los tumores se difunden a distinta velocidad en materia gris y en materia blanca y ello requiere de una traducción cuidadosa de imágenes de resonancia magnética cerebral a un dominio numérico. Con tal anatomía se analiza la evolución numérica de distintos tipos de tumores bajo diversas condiciones iniciales y en distintas posiciones del cerebro. Esto permite estimar la letalidad de un tumor a partir de la detección. Finalmente se incluye, tanto en el modelo como en el código en tres dimensiones, el impacto de tratamientos como la extirpación del tumor y la quimioterapia sobre la evolución de los tumores; además de que se ratifican los resultados obtenidos comparándolos con resultados numéricos previos y resultados clínicos. Por último, se espera que la herramienta desarrollada para este trabajo llegue a ser de utilidad en un ´ámbito médico en un mediano plazo.
