Solución numérica de la ecuación vectorial de Saint-Venant utilizando métodos híbridos

Abstract

The inundations and canal's floods are physical phenomenon that have been affecting society through time, which have increased with atypical rains caused by climate change. In order to prevent these phenomenon, we intend to predict the behavior of the waterbody, which is governed by Saint-Venant equations, proposed in 1871. The Saint-Venant equations are nonlinear Partial Differential Equations (PDE) which are derived from the mass conservation equation and the Navier-Stokes equations. Up to this moment, their analytical solution remains unknown for general cases, that's the reason why we will implement numerical methods with the purpose of obtaining a good approximation of it. Finite Differences is one of the most popular numerical methods of approximations of derivatives, mainly in the industry, since implementations can be made with low computational cost and they are conceptually simple, even though they have limitations for high gradient solutions. On the other hand, there are conservative methods such as the Finite Volume one, they are called that way because they are based in Conservation Laws; since the Navier-Stokes equations arise from momentum conservation, along with mass conservation, and it is natural to choose this type of methods when aiming for a good approximation. Both approaches complement each other when used as part of a hybrid method. Therefore, in this work several schemes of Finite Differences and Finite Volume will be presented and applied in rectangular and elongated regions. Their efficacy their efficacy will be proved and the results will be compared; we also estimate the computational cost of the simulations. From this execution an evaluation is made and improvements are proposed for each of them.

Las inundaciones y desbordamientos de canales son fenómenos que han venido afectando a la sociedad a través del tiempo, los cuales han incrementado con lluvias atípicas provocadas por el cambio climático. Para prevenir estos fenómenos se busca predecir el comportamiento del cuerpo de agua, el cual se rige por las ecuaciones de Saint-Venant, propuestas en 1871. Las ecuaciones de Saint Venant son EDP'S no lineales las cuales se derivan de la ecuación de conservación de masa y de las ecuaciones de Navier Stokes. Hasta el momento no se conoce la solución analítica de las mismas en casos generales, por lo que haremos uso de métodos numéricos para obtener una aproximación a ella. Uno de los métodos numéricos más utilizados para aproximar derivadas, principalmente en la industria, son las Diferencias Finitas, ya que pueden hacerse implementaciones con un bajo costo computacional y son conceptualmente sencillas, a pesar de que tienen limitaciones en zonas de alto gradiente de la solución. Por otro lado, existen métodos conservativos como lo son los Volúmenes Finitos, llamados así debido a que se basan en Leyes de Conservación; dado que las ecuaciones de Navier Stokes surgen de conservación de momentos, junto con conservación de masa, resulta natural elegir este tipo de métodos para buscar una buena aproximación. Ambos enfoques se complementan al emplearse como partes de un método hibrido. Por lo anterior, en este trabajo se presentarían diferentes esquemas en Diferencias Finitas y Volúmenes Finitos aplicados en regiones rectangulares y elongadas. Se probaría la eficacia de los mismos y se compararan los resultados; además, se estima el costo computacional para cada simulación. A partir de ésta ejecución se hace una evaluación y se proponen mejoras para cada uno de ellos.