This thesis focuses on the implementation of a code whose aim is to simulate the formation of a Bose-Einstein condensate out of an atomic gas. For that we assume the atomic gas to be modeled by the Gross-Pitaevskii equation (GP), which is a macroscopic representation in the mean field os a condensate at ultralow temperatures. The GP equation is mathematically the Schroedinger equation, with a macroscopic interpretation. We solve it as an initial value problem for initial data evolving in time. The code numerically solves such equation in three spatial dimensions. The numerical method used for that is the method of lines implemented on a discrete cubic domain, with a cubic mesh that uses mesh refinement in the regions where more precision is required. Using cush discrete domain the equation is discretized using finite differences. The code is tested with the reproduction of known exact solutions and the consistency of the numerical solutions is verified. After the tests we solve the GP equation with the mass parameters of Rb- 87 and the characteristics of the laser and magnet traps used in the experiment of the first Bose condensate. In the GP equation, the traps are modeled with a harmonic potential. The self-interaction among atoms is a non-linear potential term, whose parameters depend on the number of atoms in the gas. We practiced a number of numerical experiments and studied the conditions under which the numerical solutions indicate the formation of a Bose-Einstein condensate.
Esta tesis se enfoca en la implementación de un programa cuyo fin es simular la formación de un condensado de Bose-Einstein a partir de un gas atómico. Para ello se supone que el gas atómico se puede modelar con la ecuación de Gross- Pitaevskii (GP), que es una representación macroscópica de campo medio de un condensado a muy bajas temperaturas. La ecuación de GP es matemáticamente la ecuación de Schrödinger, con una interpretación macroscópica. Es decir, es una ecuación diferencial parcial dependiente del espacio y del tiempo, con un potencial externo al gas y otro de autointeracción entre los tomos. Para resolverla se plantea como un problema de valores iniciales que evolucionan en el tiempo. El programa resuelve numéricamente dicha ecuación en tres dimensiones espaciales. El método numérico utilizado para ello es el método de líneas implementado sobre un dominio cúbico discreto, con una malla cúbica que usa refinamientos de mayor resolución en las regiones del dominio donde se requiera mayor precisión. Usando dicho dominio discreto se aproxima la ecuación usando diferencias finitas. Se aplican varias pruebas al programa, que consisten en reproducir soluciones exactas conocidas y se verifica que las soluciones numéricas son consistentes con las exactas. Una vez probado el programa se resuelve la ecuación de GP con los parámetros de masa del Rb-87 y las características de la trampa con láseres y magnetos que se utilizaron en los experimentos la construcción del primer condensado de Bose. En la ecuación de GP, las trampas se modelan con un potencial armónico. La autointeracción entre tomos es un término potencial no-lineal, cuyos parámetros dependen del número de tomos del gas. Practicamos distintos experimentos numéricos y estudiamos las condiciones bajo las cuales nuestras soluciones numéricas indican la formación de un condensado de Bose-Einstein.
