Variedades contraíbles

Abstract

In this work, we study contractible manifolds and we prove some results about them. The first chapter is an introduction to manifolds, definition, examples, and properties. The second chapter is dedicated to prove that in manifolds, being contractible to a point is equivalent to being a strong deformation retract of that point. With this purpose, we introduce contractible spaces, retracttions, etc. We analyze an important example in the second section of the chapter, this example proves that in general, we can’t generalize a contraction to a strong deformation retract. The third section is dedicated to the Homotopy Extension Property because the proof of the result is strongly based on this property. The rest of the chapter is used to develop the necessary theory to prove the result and we prove it at the end of the chapter. In the third chapter we prove three results, 1) about the existence of collared neighborhoods of campact manifolds with boundary , 2) about the one-point compactification of a manifold, 3) a caracterization of Rn.

En este trabajo se estudian variedades contraíbles y se prueban algunos resultados sobre ellas. El primer capítulo es una introducción a variedades, definición, ejemplos y propiedades. El segundo capítulo está dedicado a demostrar que, en variedades, ser contraíble a un punto es equivalente a ser retracto por deformación fuerte de ese punto. Para ello, en la primera sección del capítulo se introducen los espacios contraíbles, retractos, retractos por deformación fuerte, etc. La segunda sección del capítulo está dedicada a un ejemplo importante que sirve para probar que en espacios en general no se puede generalizar una contracción a un punto a un retracto fuerte por deformación. La tercera sección está dedicada a la Propiedad de Extensión de Homotopía (PEH) en la que se basa fuertemente la demostración del resultado principal del capítulo 2. En el resto del capítulo se desarrolla la teoría suficiente para la demostración y se demuestra el resultado. En el capítulo 3 se demuestran tres resultados, 1) sobre la existencia de vecindades collar de la frontera en variedades compactas con frontera no vacía, 2) sobre compactificación por un punto del interior de una variedad, 3) una caracterización de Rn a través de contracciones.