Teorema de Conley-Zehnder: partícula en campo magnético

Abstract

The mathematician V. I. Arnold in his article “ON SOME PROBLEMS IN SYMPLEC- TIC TOPOLOGY” [PST], in his first section, tells us about the demonstration that Conley and Zehnder made of, until then conjecture, on the number of fixed points for a symplecto- morphism of torus, homologous to the identity. Then he formulates the following example in which the conjecture is analyzed: Let K: T2 → R be a positive smooth curve in the torus, consider the movement of a particle along each curve in T2 such that the curvature of the curve of each point is equal to the positive value of K at that point of T2. The conjecture can be read in this particular case: There exist at least three geometrically distinct closed orbits on the torus. Arnold tries to explain in his article the relationship of this problem with the Conley- Zehnder Theorem. In the work presented in this thesis we will develop the explanation given by Arnold where we will use tools of differential forms in manifolds, vector fields on differential manifolds, de Rham cohomology as well as a hydrodynamical lemma or Stokes’ lemma without delving too deeply into these topics for not being the objective of this thesis, nor is it to expose or analyze the proof of the Conley-Zehnder Theorem.

El matemático V. I. Arnold en su artículo “ON SOME PROBLEMS IN SYMPLEC- TIC TOPOLOGY” [PST], en su primer apartado, nos habla de la demostración que hicieron Conley y Zehnder de, hasta ese entonces conjetura, sobre el número de puntos fijos para un simplectomorfismo del toro, homologo a la identidad. En seguida formula el siguiente ejemplo en el que se analiza la conjetura: Sea K: T2 → R una curva suave positiva en el toro, consideremos el movimiento de una partícula a lo largo de cada curva en T2 tal que la curvatura de la curva de cada punto es igual al valor positivo de K en ese punto de T2. La conjetura se puede leer en este caso particular: Existen al menos tres orbitas cerradas geométricamente distintas en el toro. Arnold trata de explicar en su artículo la relación de este problema con el Teorema de Conley-Zehnder. En el trabajo presentado en esta tesis daremos desarrollo a la explicación dada por Arnold donde usaremos herramientas de formas diferenciales en variedades, campos vectoriales en variedades diferenciales, cohomología de De Rham, así como un lema de hidrodinámica o lema de Stokes sin profundizar demasiado en estos temas por no ser el objetivo de esta tesis, así como tampoco lo es el exponer o analizar la demostración del Teorema de Conley-Zehnder.