Movimiento sobre la 2-esfera con potencial vertical constante

Abstract

We studied the qualitative behavior that follows a particle of mass m > 0 restricted on the 2-sphere S2, describing trajectories with certain initial conditions of the fundamental variables that are originated from a system of Hamilton’s differential equations of motion, in polar coordinates, as well as increasing the value of the gravitational force g. We considered two important cases to study: Case 1: Hamilton’s equation system without potential. Case 2: Hamilton’s equation system with potential. On the other hand, in certain cases finding exact solutions with analytical methods of systems of ordinary differential equations is impossible due to their degree of complexity, so by not obtaining certain solutions it is possible to make use of suitable numerical methods that model approximate numerical solutions in a certain set of points. The qualitative analysis that was carried out in this work, gives us an idea to know the behavior that follows the trajectory of the particle without knowing the exact solutions of the Hamilton motion system and more importantly how those trajectories are. In order to find numerical solutions of the Hamilton system that help us to graphically understand the qualitative theory developed, the numerical integrator Runge-Kutta 4 was used, it was possible to find approximate numerical solutions of such a system, as well as graphics which describe the trajectories of the particle in S2.

Estudiamos el comportamiento cualitativo que sigue una partícula de masa m > 0 restringida sobre la 2-esfera S2, describiendo trayectorias con ciertas condiciones iniciales de las variables fundamentales que se originan a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamilton, en coordenadas polares, así como aumentando el valor de la fuerza de gravitación g. Consideramos dos casos importantes a estudiar: Caso 1: Sistema de ecuaciones de movimiento de Hamilton sin potencial. Caso 2: Sistema de ecuaciones de movimiento de Hamilton con potencial. Por otro lado, en ciertos casos encontrar soluciones exactas con métodos analíticos de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias es imposible debido a su grado de complejidad, entonces al no obtener ciertas soluciones es posible hacer uso de métodos numéricos adecuados que modelan soluciones numéricas aproximadas en un determinado conjunto de puntos. El análisis cualitativo que se llevó acabo en este trabajo, nos brinda una idea para conocer el comportamiento que sigue la trayectoria de la partícula sin conocer las soluciones exactas del sistema de movimiento de Hamilton y más relevante como son esas trayectorias. Con la finalidad de encontrar soluciones numéricas del sistema de Hamilton que nos ayuden a entender gráficamente la teoría cualitativa desarrollada se utilizó el integrador numérico Runge-Kutta 4, se logró encontrar soluciones numéricas aproximadas de tal sistema, así como gráficos que describen las trayectorias de la partícula en S2.