Subconjuntos interesantes de los números reales

Abstract

In this work, the existence and properties of sets that are considered out of the ordinary are investigated. We begin with a section dedicated to presenting the preliminary concepts necessary to understand this work. Then, we begin to study the Bernstein sets, being these subsets of the real numbers, not countable, that intersect all the perfect subsets of R but that are not contained in any of them. Its existence and some of its remarkable properties are demonstrated. Then, the magic sets are investigated, which are those subsets M ⊂ R such that (∀f,g ∈ C(R) with f and g not constant on every open interval)(f[M] = g[M ] ⇒ f = G). The existence of a magic set in R is proved, assuming CH. Afterwards, all subsets of A ⊂ R are exposed such that if f : A → R is injective and continuous, then f is a homeomorphism in its image. These sets are known as R-minimals. Then we begin to study some sets that we consider to be “small” in some sometimes far-fetched sense. Perfectly lean sets, zero universal measure sets, zero strong measure sets, and strongly lean sets are explored. We continue studying Luzin sets, Sierpinski sets, λsets and Q-sets. Finally, some implications of MA with respect to the sets discussed above are exposed.

En este trabajo se investiga la existencia y las propiedades de conjuntos que se consideran fuera de lo comu´n. Comenzamos con una secci´on dedicada a presentar los conceptos preliminares necesarios para entender este trabajo. Luego, empezamos a estudiando los conjuntos de Bernstein, siendo estos subconjuntos de los nu´meros reales, no numerables, que intersecan a todos los subconjuntos perfectos de R pero que no esta´n contenidos en ninguno. Se demuestra su existencia y algunas de sus propiedades notables. Despu´es, se investigan los conjuntos ma´gicos, los cuales son aquellos subconjuntos M ⊂ R tales que (∀f,g ∈ C(R) con f y g no constantes en todo intervalo abierto)(f[M] = g[M] ⇒ f = G). Se demuestra la existencia de un conjunto m´agico en R suponiendo CH. Despu´es, se exponen todos los subconjuntos de A ⊂ R tales que si f : A → R es inyectiva y continua, entonces f es un homeomorfismo en su imagen. A estos conjuntos se les conoce como R-minimales. Luego comenzamos a estudiar algunos conjuntos que consideramos “pequen˜os” en algu´n sentido a veces rebuscado. Se exploran conjuntos perfectamente magros, conjuntos de medida universal cero, conjuntos de medida fuerte cero y conjuntos fuertemente magros. Proseguimos estudiando conjuntos de Luzin, conjuntos de Sierpinski, λconjuntos y Q-conjuntos. Para terminar, se exponen algunas implicaciones de MA con respecto a los conjuntos que se trataron anteriormente.