Estructura geométrica de los espacios de raíces de polinomios y solución por radicales de ecuaciones polinomiales

Abstract

In this project we study the problem of solving cubic, quartic and quintic equations with a geometric approach. First, we show that any polynomial of k degree, with k Є {3; 4; 5} could be transformed to a polynomial of the form zk + a1z + a2, using a Tschirnhausen's transformation. Subsequently, we study the set of equivalence classes of an equivalence relation on the spaces of roots of that kind of polynomials, (where the equivalence relation is the projection of complex lines intersecting the origin), getting that the set of equivalence classes of roots of {z3 +a1z +a2} is the Riemann's sphere, the set of equivalence classes of roots of {z4 +a1z +a2} also is the Riemann's sphere, nevertheless, the set of equivalence classes of roots of {z5 + a1z + a2} is a surface with genus 4 (i.e. a sphere with four handles). Finally, with the theory used previously, we build a general algorithm for solving cubic equations, quartic equations and we sketch the geometric obstructions that prevent the construction of a general algorithm by radicals that solves quintic equations.

En este proyecto estudiamos el problema de resolver ecuaciones polinomiales de tercer, cuarto y quinto grado con un enfoque geométrico. Primero, mostramos que cualquier polinomio de grado k Є {3; 4; 5} se puede transformar a un polinomio de la forma zk + a1z + a2, esto mediante una transformación de Tschirnhausen. Posteriormente, estudiamos el espacio de raíces de estos polinomios bajo cierta relación de equivalencia (la proyección de rectas complejas por el origen), obteniendo que el conjunto de clases de las raíces de {z3+a1z+a2} es la esfera de Riemann, el conjunto de clases de las raíces de {z4 +a1z +a2} también es la esfera de Riemann, sin embargo, el conjunto de clases de las raíces de {z5 + a1z + a2} resulta ser una superficie de genero 4 (i.e. una esfera con cuatro asas). Finalmente, con la teoría utilizada previamente, construimos un algoritmo general para resolver ecuaciones de tercer grado, un algoritmo general para resolver ecuaciones de cuarto grado y bosquejamos las obstrucciones geométricas que impiden la construcción de un algoritmo general por radicales que resuelva ecuaciones de quinto grado.