Espacios únicos y diferentes: autohomeomorfismos

Abstract

We say that two topological spaces are homeomorphic if there is a continuous, bijective function with continuous inverse between them, such a function is called homeomorphism. Geometrically we can interpret the notion of homeomorphism when we can move from one space to another continuously and reversibly. With this geometric notion we are going to analyze and build a space that the only transformation it admits is identity, we will call this type of space rigid spaces. Continuing with those ideas, we will use techniques analogous to rigid space construction to construct a topological space in such a way that its symmetries coincide with a given specific group, from which in particular we can control the cardinality of its group of autohomeomorphisms, i.e. we will be able to construct topological spaces that admit a desired number of autohomeomorphisms.

Decimos que dos espacios topológicos son homeomorfos si existe una función continua, biyectiva y con inversa continua entre ellos, tal función se denomina homeomorfismo. Geométricamente podemos interpretar la noción de homeomorfismo cuando podemos pasar de un espacio a otro de manera continua y reversible. Con esta noción geométrica vamos a analizar y construir un espacio que la única transformación que admite es la identidad, a este tipo de espacios los denominaremos espacios rígidos. Continuando con esas ideas, usaremos técnicas análogas a la construcción del espacio rígido para construir un espacio topológico de tal manera que sus simetrías coincidan con un grupo específico dado, de lo que en particular podemos controlar la cardinalidad de su grupo de autohomeomorfismos, es decir, podremos construir espacios topológicos que admitan una cantidad deseada de autohomeomorfismos.