Productos caja y la clase de espacios discretamente generados

Abstract

Theory of discretely generated spaces was introduced by A. Dow, M. Tkachenko, V. Tkachuk and R. Wilson in 2002. A discretely generated space means that the closure of each of its subsets can be obtained by the union of the closures of its discrete subsets. The following sequence of implications between classes of spaces helps us to understand and compare the discretely generated space class with other known classes: Metric) First countable) Friechet-Urysohn) Sequential) discreetly generated. Several interesting open questions were established and motivated the continuation of the work to V. Tkachuk and R. Wilson. There they show diverse and powerful results that relates this class particularly with box products. However, after 13 years until now they have not established yet results that can classify totally or partially the product spaces (box and Tychono) to be discretely generated. Thus, motivated by the work of V. Tkachuk and R. Wilson, in this document we solve the Problem 3.19 and a first progress for Problem 3.3 of their article. 3.3 If Xn, n 2! are first countable spaces, >is the space _n2!Xn discretely generated? 3.19 >Does the space fig [! embed into a box product of real lines, for any _ 2 _! n!?

La teoría de espacios discretamente generados fue introducida por A. Dow, M. Tkachenko, V. Tkachuk y R. G. Wilson en 2002. Un espacio discretamente generado se refiere a que la cerradura de cada uno de sus subconjuntos se puede obtener mediante la unión de las cerraduras de sus subconjuntos discretos. La siguiente sucesión de implicaciones entre clases de espacios nos ayuda a entender y comparar los espacios discretamente generados con otras clases conocidas: Métricos) Primero numerables) Friechet-Urysohn) Secuenciales) Discretamente generados. Se plantearon varias preguntas abiertas interesantes las cuales motivaron la continuación del trabajo a V. Tkachuk y R. Wilson. Ahí muestran diversos y potentes resultados relacionando esta clase particularmente con los productos caja. Sin embargo, transcurridos 13 años hasta ahora aún no se han establecidos resultados que puedan clasificar total o parcialmente a los espacios producto (caja y Tychono) para ser discretamente generados. Así, con motivación en el trabajo realizado por V. Tkachuk y R. Wilson, en este documento resolvemos el Problema 3.19 y un primer avance para el Problema 3.3 de ese artículo. 3.3 Si los espacios Xn, n 2!, son primero numerables, >es el espacio n2! Xn discretamente generado? 3.19 >El espacio fig[! se encaja en un producto caja de rectas reales para algún _ 2 _! n!?