Marcos continuos en espacios de Krein

Abstract

Kerin spaces as a generalization of Hilbert spaces, appear in the same way in different areas of physics where the main difference is the possibility of having an indefinite internal product and gain properties that in the Hilbert space may not be fulfilled On the other hand, the theory of frames in Kerin spaces is useful in the practical sense for the discrete representation of any of its vectors in the terms of a family called frame, where said representation is given by a series of functions. The objective of this study is to generalize the aforementioned standard theory, so that frame vectors can be labeled using discrete or continuous indexes and thus give rise to frames that provide continuous representations through weak integrals. In the face of this, what is known as continuous frames in Krein spaces arose and in which new frames of greater interest appear. Such generalization was achieved by giving a description of the theory completely in Krein spaces with indefinite internal product, where one of the results to be highlighted is the frame decomposition theorem, which allows to see naturally a frame as a generalized base.

Los espacios de Krein como generalización de los espacios de Hilbert, aparecen del mismo modo en diversas áreas de la física donde su principal diferencia está en la posibilidad de contar con un producto interno indefinido y de ganar propiedades que en el espacio de Hilbert quizás no se cumplan. Por otro lado, la teoría de marcos en espacios de Krein es de utilidad en el sentido práctico para la representación discreta de cualquiera de sus vectores en términos de una familia denominada marco, donde dicha representación se da mediante series de funciones. El objetivo de este estudio es generalizar la teoría estándar mencionada, de manera que los vectores del marco se puedan etiquetar utilizando índices discretos o continuos y así dar lugar a marcos que proporcionan representaciones continuas mediante integrales débiles. Ante ello, surgió lo que se denomina como marcos continuos en espacios de Krein y en los cuales aparecen nuevos marcos de mayor interés. Tal generalización se logró dando una descripción de la teoría completamente en espacios de Krein con producto interno indefinido, donde uno de los resultados a destacar es el teorema de descomposición de marcos, el cual permite ver naturalmente un marco como una base generalizada.