Comportamiento asintótico de la prueba de razón de verosimilitudes

Abstract

In statistics, a likelihood ratio test is a hypothesis test used to compare two statistical models: a null model versus an alternative model. The test is based on the likelihood ratio, which expresses how many times more likely the data is under one model than under the other. This likelihood ratio, or its equiva-lent logarithm, can be used to decide whether or not to reject the null model. When the logarithm of the likelihood ratio is used, the statistic is known as a logarithmic likelihood ratio statistic, and the probability distribution of this test statistic, assuming that the null model is true, can be approximated using the Wilks theorem. In this work we will give a complete and rigorous demonstration of the famous Wilks theorem, which states that if the null hypothesis is true, then the distribution of the likelihood ratio nλ converges when ntends to infinity to a chi-square distribution with ? degrees of freedom, not depending on the true value ?. Therefore, the null hypothesis would be rejected if ?? is too large in terms of the chi-square distribution.

En estadística, una prueba de razón de verosimilitudes es una prueba de hipótesis utilizada para comparar la bondad de ajuste de dos modelos estadísticos: un modelo nulo frente a un modelo alternativo. La prueba se basa en la razón de verosimilitudes, que expresa cuántas veces más probable es que los datos estén bajo un modelo que bajo el otro. La estadística de prueba depende de una estadística mínima suficiente solamente. Esto es inmediato debido a su definición como un cociente y la caracterización de la suficiencia por el teorema de la factorización. Esta razón de verosimilitudes, o su logaritmo de manera equivalente, se puede usar para decidir si se rechaza o no el modelo nulo. Cuando se usa el logaritmo de la razón de verosimilitudes, la estadística se conoce como una estadística de razón de verosimilitudes logarítmica, y la distribución de probabilidad de esta estadística de prueba, suponiendo que el modelo nulo es verdadero, se puede aproximar usando el teorema de Wilks. En este trabajo vamos a dar una demostración completa y rigurosa del famoso teorema de Wilks, el cual afirma que, si la hipótesis nula es verdadera, entonces la distribución de la razón de verosimilitudes λn converge cuando  tiende a infinito a una distribución ji-cuadrada con r grados de libertad, no dependiendo del valor verdadero θ = θ0 ∈ Θ0. Por lo tanto, la hipótesis nula sería rechazado si λn es demasiado grande en términos de la distribución tabulada ji-cuadrada. Esto significa que para una gran variedad de hipótesis, un profesional puede calcular la razón de verosimilitudes λn para los datos y comparar λn con valor ji-cuadrada correspondiente a la significación estadística deseada como una prueba estadística aproximada.