This paper provides an overview of automatic continuity in Polish groups and presents some important tools and techniques for its study and application. The concept of automatic continuity in Polish groups is studied, and classical theorems developed to address the problem of automatic continuity in Polish groups, such as the Banach-Pettis theorem, Steinhaus-Weil theorem, among others, are reviewed. These theorems provide sufficient conditions for automatic continuity in Polish groups and are important tools for research in this field. Furthermore, some techniques that have been created to tackle the question of automatic continuity in Polish groups are presented, such as the Steinhaus property introduced by Rosendal and Solecki, as well as the ample generics property introduced and studied by Kechris and Rosendal. The latter is a powerful tool for proving automatic continuity and other related consequences. Additionally, some research directions are explored to address the question of equivalence between the Steinhaus property and automatic continuity, which remains an unresolved problem in this field. Finally, the paper concludes with some results obtained in research, suggesting that automatic continuity is a property that can be studied in Polish groups in more detail, and there are opportunities to find new techniques and theorems that will enable addressing this problem more efficiently in the future.
En el presente trabajo se proporciona una visión general de la continuidad automática en grupos polacos y se presentan algunas herramientas y técnicas importantes para su estudio y aplicación. Se estudia el concepto de continuidad automática en grupos polacos, se repasan los teoremas clásicos que se han desarrollado para abordar el problema de la continuidad automática en grupos polacos, tales como el teorema de Banach-Pettis, Teorema de Steinhaus-Weil, entre otros. Estos teoremas proporcionan condiciones suficientes para la continuidad automática en grupos polacos y son herramientas importantes para la investigación en este tema. Además, se presentan algunas técnicas que se han creado para resolver la cuestión de la continuidad automática en grupos polacos, como la Propiedad de Steinhaus introducida por Rosendal y Solecki, así como también la propiedad ample generics introducida y estudiada por Kechris y Rosendal. Esta última es una herramienta poderosa para demostrar continuidad automática como otras consecuencias de interés. También se exploran algunas líneas de investigación para abordar la pregunta de la equivalencia entre la Propiedad de Steinhaus y la continuidad automática, que es un problema no resuelto en este campo. Por último, se concluye con algunos resultados obtenidos en la investigación, que sugieren que la continuidad automática es una propiedad que puede ser estudiada en grupos polacos más a detalle y que existen oportunidades para encontrar nuevas técnicas y teoremas que permitan abordar este problema de manera más eficiente en el futuro.
