Bounded topology and trace ideals on ω

Abstract

This work consists of two main parts. In the first one, we will delve into a topological approach for the combinatorics of an ideal on ω. In order to do that, we introduce the bounded topology (Definition 3.2.3), defined for ideals on ω which is finer than the usual one, and whose properties are closely related with the combinatorics of the ideal, especially with its weakly bounded and strongly unbounded sets (Definition 3.1.1). Excluding the non-meager P-ideals, the bounded topology is distinct from the inherited metric topology (Theorem 3.3.10), and for analytic P-ideals it is equal to the topology introduced by S. Solecki in [41] and [42] (Theorem 3.3.20). We will study how combinatorial concepts for an ideal are related to properties of its bounded topology, giving some parallel results. Along the way, we found that the bounded topology of Fin × ∅ has certain interesting properties (Proposition 3.3.13 and below). This part was largely motivated by a conjecture given by A. Louveau and B. Veličković in [34] (Conjecture 3.4.1). We present a partial answer (Corollary 3.4.13) for ideals with a weaker property than being a P-ideal. We also introduce a subideal of Fin × Fin, namely the triangular ideal (Definition 3.4.7), which does not have this property and motivates a new speculation (Conjecture 3.4.14). We will also use the bounded topology to give a classification among Fσ-ideals (Theorem 3.5.10), although it is not exhaustive, we expect to be close to being (Conjecture 3.5.11). In the second part, we study the trace ideals (Definition 4.0.4) introduced by J. Brendle and S. Yatabe in [7]. We prove how some properties of the original ideal are related with its trace ideal.

El trabajo se divide en dos partes. En la primera de ellas se explora de una manera topológica algunas propiedades combinatorias de los ideales sobre ω. Para tal motivo introducimos una topología, a la que llamamos topología acotada (Definición 3.2.3), la cual es más fina que la topología métrica heredada de 2ω y cuyas características están estrechamente relacionadas a propiedades de acotamiento del ideal, en especial con los conjuntos débilmente acotados y los fuertemente no acotados (Definición 3.1.1). Salvo en P-ideales no magros, esta topología es distinta a la usual (Teorema 3.3.10) y para los P-ideales analíticos coincide con la topología dada por las submedidas estudiadas por S. Solecki en [41] y [42] (Teorema 3.3.20). Mostraremos cómo algunos conceptos combinatorios se relacionan con las propiedades de esta topología, dando algunos resultados paralelos entre ambos. Veremos que el espacio dado por el ideal Fin × ∅ presenta algunas cualidades interesantes (Proposición 3.3.13 y debajo). Esta parte del trabajo fue motivada en gran parte por una conjetura de A. Louveau y B. Veličković en [34] (Conjetura 3.4.1). Sobre ésta, damos una solución parcial (Corolario 3.4.13) en una clase de ideales que abarca a los P-ideales. Damos un ejemplo de un subideal de Fin × Fin al que llamamos ideal triangular (Definición 3.4.7) que testifica que la conjetura aún sigue abierta y motiva a una nueva (Conjetura 3.4.14). También daremos una clasificación de los Fσ-ideales usando su topología acotada (Teorema 3.5.10), que, si bien no es exhaustiva, creemos que está cerca de serlo (Conjetura 3.5.11). En la otra parte del trabajo, estudiamos a los ideales traza (Definición 4.0.4) que fueron introducidos por J. Brendle y S. Yatabe en [7]. Mostraremos cómo algunas propiedades del ideal original se traducen a propiedades de su traza.