Modelado de problemas de convección natural difusiva doble no lineal usando diferencias finitas generalizadas

Abstract

Mathematics allows us to interpret physical phenomena in nature through an abstract yet highly powerful language. By constructing mathematical models, we can understand these phenomena and develop an intuition about their behavior. Since reality is complex, models are simplifications that omit factors with little influence on the general behavior. However, these simplifications do not imply that the models are ineffective; in fact, they are often very useful in predicting real-world situations. Differential calculus establishes relationships between two variables, where a change in one affects the other. This relationship is called a derivative, which represents movement. For example, populations grow, currencies fluctuate, the Earth orbits the Sun, and pressure and gravity cause water to flow. If these relationships between variables are expressed through equations, we obtain what is known as differential equations. Physical phenomena involving motion can be expressed in terms of systems of partial differential equations. By solving these systems, we obtain the functions that describe the behavior of the phenomenon. In many cases, due to their complexity, it is not possible to find an analytical solution, so numerical methods are commonly used. This challenge becomes especially pronounced when the equations are coupled or nonlinear. In this work, the Generalized Finite Differences Method is implemented to solve systems of differential equations that model phenomena such as temperature diffusion, concentration diffusion, and the movement of an incompressible fluid. This is addressed within a domain filled with a saturated porous medium, where the intrusion of saltwater and temperature changes over time are simulated.

Las matemáticas nos permiten interpretar los fenómenos físicos de la naturaleza mediante un lenguaje abstracto, pero sumamente poderoso. Al construir modelos matemáticos, podemos comprender estos fenómenos y desarrollar una intuición sobre su comportamiento. Dado que la realidad es compleja, los modelos son simplificaciones que omiten factores con poca influencia en el comportamiento general. Sin embargo, estas simplificaciones no implican que los modelos sean ineficaces; a menudo resultan muy útiles para predecir situaciones reales. El cálculo diferencial establece relaciones entre dos variables, donde un cambio en una afecta a la otra. A esta relación la denominamos derivada, la cual representa movimiento. Por ejemplo, las poblaciones crecen, las divisas fluctúan, la Tierra gira alrededor del Sol, y la presión y la gravedad hacen que el agua fluya. Si estas relaciones entre variables se expresan mediante ecuaciones, obtenemos lo que se conoce como ecuaciones diferenciales. Los fenómenos físicos donde existe movimiento pueden expresarse mediante sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. Al resolver estos sistemas, obtenemos las funciones que describen el comportamiento del fenómeno. En muchos casos, debido a su complejidad, no es posible encontrar una solución analítica, por lo que se recurre a métodos numéricos. Esta dificultad aumenta cuando las ecuaciones están acopladas o son no lineales. En este trabajo, se implementa el Método de Diferencias Finitas Generalizadas para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos como la difusión de temperatura, la difusión de concentración y el movimiento de un fluido incompresible. Esto se aborda dentro de un dominio lleno de un medio poroso saturado, donde se simula la intrusión de agua salada y el cambio de temperatura a lo largo del tiempo.