In this thesis, we apply modern methods from stability theory and Brill- Noether theory for curves to a problem concerning the stability of bundles. More precisely, we relate the stability of linear series to the stability of the syzygy bundle associated with these linear series. The methods employed include an extension of Brill-Noether theory for k-gonal curves, the study of stability conditions on K3 surfaces, and the stability of restrictions of bundles from a surface to a curve within that same surface. In Chapter 1, we introduce the fundamental aspects of Brill-Noether theory and present the main problem, along with a couple of conjectures proposed by Ernesto Mistretta and Lidia Stoppino in [25]. These conjectures relate the stability of linear series, in both complete and incomplete cases, to the stability of the syzygy bundle associated with these linear series, as well as the positive or negative responses that have been presented thus far. In the following two chapters, we study the solution to one of the conjectures in the case of a general k-gonal curve for generic and intermediate gonality. In Chapter 2, we propose a solution to the conjecture for general curves, following the ideas of Castorena and Torres-Lopez in [11]. We will examine a multiplication application of global sections obtained through manipulation of the Butler’s diagram. In Chapter 3, we present an introduction to Brill-Noether theory for k-gonal curves, which allows us to study the dimension of Brill-Noether varieties associated with these types of curves via the non-negativity of a modification to the classical Brill-Noether number. We will present conditions under which the proofs from Chapter 2 for generic curves can be extended to general curves within k-gonal strata using this theory.
En la presente tesis aplicamos métodos modernos de teoría de estabilidad y teoría de Brill-Noether para curvas a un problema de estabilidad de haces. Más precisamente, el problema en cuestión relaciona la estabilidad de series lineales y la estabilidad del haz de sizigias asociado a dichas series, mientras que los métodos utilizados incluyen una extensión de la teoría de Brill- Noether para curvas k-gonales, el estudio de las condiciones de estabilidad en superficies K3, la estabilidad de la restricción de haces de una superficie a una curva dentro de la misma. En el Capítulo 1 introducimos aspectos básicos de la teoría de Brill- Noether, introducimos el problema principal, un par de conjeturas propuestas por Ernesto Mistretta y Lidia Stoppino en [25] que relacionan la estabilidad de series lineales, en el caso completo e incompleto y su relación con la estabilidad del haz de sizigias asociado a estas series lineales, así como las respuestas positivas o negativas que se han presentado al momento. En los siguientes 2 capítulos estudiamos la solución a una de las conjeturas en el caso de una curva k-gonal general para gonalidad genérica e intermedias. En el Capítulo 2 proponemos una solución a la conjetura para curvas generales siguiendo las ideas propuestas por Castorena y Torres-Lopez en [11], estudiaremos una aplicación multiplicación de secciones globales obtenidos mediante manipulación del diagrama de Butler. En el Capítulo 3 presentamos una introducción a la teoría de Brill-Noether para curvas k-gonales, lo cual nos permite estudiar la dimensión de las variedades de Brill-Noether asociada a este tipo de curvas vía la no-negatividad de una modificación al número de Brill-Noether conocido en la teoría clásica. Presentaremos así condiciones para las cuales las pruebas del Capítulo 2 para curvas genéricas se pueden extender a curvas generales en los estratos k-gonales utilizando esta teoría.
