Funtores de reducción y problemas matriciales

Abstract

A wide variety of matrix problems have been formulated and studied in terms of graded tensor algebras with differentials and their module categories, which allows the application of techniques from the general theory of representations of algebras to these problems. In this work, we study the theory of pairs (A, I), where A is a tensor algebra with a derivation and I is an ideal of its degree 0 homogeneous component, and their module categories (A, I)-Mod. Moreover, we study reduction functors (A′, I′)-Mod → (A, I)-Mod between the module categories associated to elementary operations or reductions (A, I) 7→ (A′, I′) of pairs that simplify the original pair. This study is based on some sections of the book [2]. The generalization of this study presented here, for tensor algebras with differentials to the case of the aforementioned pairs is scattered across several research articles. Among the reductions studied, the X-reduction stands out, it unifies and generalizes classical reduction processes such as edge reductions and unravellings.

Gran variedad de problemas matriciales han sido formulados y estudiados en términos de álgebras tensoriales graduadas con diferenciales y sus categorías de módulos, lo cual permite la aplicación de técnicas de la teoría general de representaciones de álgebras a dichos problemas. En este trabajo, se estudia la teoría de pares (A, I), donde A es un álgebra tensorial con derivación e I es un ideal de su componente homogénea de grado 0, y de sus categorías de módulos (A, I)-Mod. Así mismo, se estudian funtores de reducción (A′, I′)-Mod → (A, I)-Mod entre las categorías de módulos asociados a operaciones elementales o reducciones (A, I) 7→ (A′, I′) de pares que permiten simplificar el par original. El estudio anterior se apoya algunas secciones del libro [2]. La generalización de este estudio para álgebras tensoriales con diferencial al caso de los pares mencionados antes, se encuentra dispersa en varios artículos de investigación. Entre las reducciones estudiadas destaca la X-reducción, que unifica y generaliza procesos reductivos clásicos como son la reducción de ejes (“edge reductions”) y la reducción de lazos (“unravellings”).