Análisis asintótico a tiempo largo de las soluciones del problema periódico para la ecuación de Schrödinger no lineal cuadrática

Abstract

The Schrödinger equation is, without doubt, one of the most important equations through mathematical-physics. Even though it’s not always possible to find a solution in terms of analytic functions, asymptotics can provide valuable information about them to certain limits without really knowing them explicitly. The nonlinear Schrödinger equation extends the classic point of view and adds nonlinear terms of the wave function. The present work provides the asymptotic profile of the periodic solutions for a one-dimensional nonlinear Schrödinger equation, where the nonlinearity is given by the negative of the square of the wave function, being this the only source of interaction, and all of it constrained to periodic boundary value-initial value conditions. A first order differential equation, found in the a priori estimates, is proposed as the key part of the analysis.

La ecuación de Schrödinger es, sin lugar a dudas, una de las ecuaciones de la física-matemática más importantes que existen. Si bien en muchos casos la obtención de una solución en términos de funciones analíticas resulta imposible, el análisis asintótico permite estudiar propiedades importantes de las soluciones a ciertos límites, sin la necesidad de conocerlas explícitamente. La ecuación de Schrödinger no lineal es una extensión de dicha ecuación que considera términos no lineales de la función de onda. En el presente trabajo se obtiene el perfil asintótico a tiempo largo de las soluciones periódicas de una ecuación de Schrödinger no lineal unidimensional en el espacio, donde el término de no linealidad está dado por el negativo del cuadrado de la función de onda y se considera a este como única fuente de interacción, todo lo anterior en presencia de condiciones iniciales y de frontera periódicas. Se toma como base una ecuación diferencial ordinaria de primer orden obtenida al buscar las estimaciones a priori del problema y se muestra la manera en la que esta absorbe gran parte del análisis.