Grupo modular de variedades que son como planos proyectivos

Abstract

A smooth, closed, and simply connected manifold is said to be like a projective plane if it has integer homology isomorphic to the integer homology of a projective plane, that is, the sum of three copies of the integers. This type of manifold is a generalization of the projective planes over the complexes, quaternions, and octonions. The objective of this work is to obtain the explicit computation of the mapping class group of manifolds wich are like projective planes in dimensions 8 and 16. This computation is carried out using techniques based on exotic spheres, taking advantage of their relation with bordism classes and diffeomorphism classes. To develop this theory, we begin by examining the emergence of non-standard differential structures on the sphere from the work of John Milnor, who showed that the standard sphere in dimension 7 can admit multiple smooth structures. This leads to the construction of the groups of homotopy spheres for all dimensions, which are finite abelian and allow us to describe the existence of exotic spheres. Subsequently, we review the classification of manifolds that are like projective planes, initiated by James Eells and Nicolaas H. Kuiper and completed by Linus Kramer and Stephan Stolz through characteristic classes, in particular Pontryagin classes. These tools make it possible to understand how the presence of exotic spheres can alter the differentiable structure of such manifolds. Finally, following the work of Yang Su and Wei Wang, we obtain the explicit computation of the mapping class group in dimensions 8 and 16, using the groups of exotic spheres to describe the isotopy classes of diffeomorphisms. The analysis also provides consequences for the spaces of metrics of positive scalar curvature, especially in the case of manifolds that are like the quaternionic projective plane.

Una variedad suave, cerrada y simplemente conexa se dice que es como un plano proyectivo si tiene homología entera isomorfa a la homología entera de un plano proyectivo, es decir, suma de tres copias de los enteros. Este tipo de variedades es una generalización a los planos proyectivos sobre los complejos, cuaterniones y octoniones. El objetivo de este trabajo es obtener el cálculo explícito del grupo modular de variedades que son como planos proyectivos en dimensiones 8 y 16. Dicho cálculo se realiza empleando técnicas basadas en esferas exóticas, aprovechando su relación con clases de bordismo y clases de difeomorfismos. Para desarrollar esta teoría, iniciamos examinando el surgimiento de estructuras diferenciales no estándar en la esfera a partir del trabajo de John Milnor, quien mostró que la esfera estándar en dimensión 7 puede admitir múltiples estructuras suaves. Esto conduce a la construcción de los grupos de esferas homotópicas para todas las dimensiones, los cuales son finitos abelianos y permiten describir la existencia de esferas exóticas. Posteriormente se revisa la clasificación de las variedades que son como planos proyectivos, iniciada por James Eells y Nicolaas H. Kuiper y completada por Linus Kramer y Stephan Stolz mediante clases características, en particular clases de Pontryagin. Estas herramientas permiten comprender cómo la presencia de esferas exóticas puede alterar la estructura diferenciable de dichas variedades. Finalmente, siguiendo el trabajo de Yang Su y Wei Wang, se obtiene el cálculo explícito del grupo modular en dimensiones 8 y 16, utilizando los grupos de esferas exóticas para describir las clases de isotopía de difeomorfismos. El análisis proporciona además consecuencias para los espacios de métricas de curvatura escalar positiva, en especial en el caso de variedades que son como el plano proyectivo cuaterniónico.