Multidimensional sequential compactness

Abstract

This thesis explores generalizations of sequential compactness in topological spaces. The first part advances finite-dimensional theory by constructing n-sequentially compact spaces that fail to be (n + 1)-sequentially compact under the assumptions b = c or b = s. Key achievements include a ZFC example of a Fréchet, sequentially compact space that is not 2-sequentially compact, answering an open question. Furthermore, we exhibit a sequentially compact space of character b that is not 2-sequentially compact, showing that b is an optimal bound in [49, Theorem3.1]. The second part extends this analysis to infinite dimensions via Nash-Williams barriers, where the notion of “dimension” is captured by the rank of the barrier, which can be any countable ordinal. A preorder ⪯ on barriers facilitates analogues of finite-dimensional results, proving that if X is B-sequentially compact and C ⪯B, then X is C-sequentially compact. Under b = c, for α <β<ω1, there exist α-sequentially compact spaces that are not β-sequentially compact. Well-studied classes (such as important spaces arising from functional analysis) are shown to be α-sequentially compact for all α <ω1. Additionally, new cardinals associated with barriers are studied, both in themselves and in the context of barrier-sequential compactness. The main contributions include these constructions, characterizations, and extensions, which improve the understanding of compactness hierarchies.

Esta tesis explora generalizaciones de la compacidad secuencial en espacios topológicos. La primera parte avanza en la teoría de dimensión finita construyendo espacios n-secuencialmente compactos que no son (n + 1)-secuencialmente compactos bajo las hipótesis b = c o b = s. Entre los logros claves e incluye un ejemplo en ZFC de un espacio de Fréchet secuencialmente compacto que no es 2-secuencialmente compacto, respondiendo así a una pregunta abierta. Además, exhibimos un espacio secuencialmente compacto de carácter b que noes 2-secuencialmente compacto, mostrando que b es una cota óptima en [49, Teorema3.1]. La segunda parte extiende el estudio a dimensiones infinitas vía barreras de Nash- Williams, donde la noción de “dimensión” es capturada por el rango de la barrera, el cual puede ser cualquier ordinal numerable. Un preorden ⪯ en las barreras facilita análogos de resultados finito-dimensionales, probando que si X es B-secuencialmente compacto y C ⪯B, entonces X es C-secuencialmente compacto. Bajo b = c, para α <β<ω1, existen espacios α-secuencialmente compactos que no son β-secuencialmente compactos. Se muestra que ciertas clases bien estudiadas (como espacios importantes surgidos del análisis funcional) son α-secuencialmente compactas para todo α <ω1. Finalmente, se estudian nuevos cardinales asociados a barreras, tanto en sí mismos como en el contexto de la compacidad secuencial con barreras. Las contribuciones principales incluyen estas construcciones, caracterizaciones y extensiones, las cuales mejoran la comprensión de las jerarquías de compacidad.