Análisis de sincronización en sistemas hipercaóticos

Abstract

This doctoral thesis investigates the synchronization of chaotic dynamical systems, focusing on the characterization of the polynomial potential Φ8 and the comparative analysis of different coupling schemes. The work is organized into four chapters presenting the following results for the van der Pol-Duffing (VDP-D), Duffing (D), and Rayleigh-Duffing (R-D) dynamical systems. In Chapter 1, a complete classification of the symmetric Φ8 potential is established by determining the algebraic conditions on its coefficients for configurations of singlewell, double-well, triple-well or quadruple-well. This characterization provides the foundation for subsequent synchronization studies and represents an original contribution, as the Φ8 potential lacked a systematic classification in the previous literature. Chapter 2 is divided into two parts. Section 2.1 compares four coupling schemes for three systems in a linear chain configuration. The second section extends the analysis to different interaction motifs. Chapter 3 addresses the phenomenon of vertical shift observed between numerical solutions in the strong coupling limit. By applying the perturbation method, approximate analytical solutions for the slave system are obtained. Comparison with numerical solutions reveals that this shift is not a numerical artifact but rather a transient phenomenon that vanishes for sufficiently long times. This analysis not only explains the observed behavior but also establishes the methodological basis for studying other types of complex synchronization. This constitutes another important contribution of the present thesis. Chapter 4 provides a summary of the most relevant results. In summary, this research provides analytical tools and practical results for the design and control of coupled nonlinear oscillator arrays. The findings, particularly the characterization of the Φ8 potential and the explanation of the vertical shift, establish a solid foundation for future studies on complex synchronization of chaotic systems.

Esta tesis doctoral investiga la sincronización de sistemas dinámicos caóticos, centrándose en la caracterización del potencial polinomial Φ8 y en el análisis comparativo de distintos esquemas de acoplamiento. El trabajo se organiza en cuatro capítulos que presentan los siguientes resultados entre los sistemas dinámicos van der Pol-Duffing (VDP-D), Duffing (D) y Rayleigh-Duffing (R-D). En el Capítulo 1 se establece una clasificación completa del potencial simétrico Φ8, determinando las condiciones algebraicas sobre sus coeficientes para que presente configuraciones de uno, dos, tres o cuatro pozos. Esta caracterización proporciona la base para los estudios de sincronización posteriores y representa una contribución original, dado que el potencial Φ8 carecía de una clasificación en la literatura previa. El Capítulo 2 se divide en dos partes. En la sección 2.1 se comparan cuatro esquemas de acoplamiento para tres sistemas en un arreglo lineal con patrón de cadena. La segunda sección extiende el análisis de diferentes patrones de interacción. El Capítulo 3 aborda el fenómeno del desplazamiento vertical observado entre las soluciones numéricas en el límite de acoplamiento fuerte. Aplicando el método de perturbación, se obtienen soluciones analíticas aproximadas para el sistema esclavo. La comparación con soluciones numéricas revela que este desplazamiento no es el resultado de un efecto numérico, sino un fenómeno de transición que desaparece para tiempos suficientemente largos. Este análisis, además de explicar el comportamiento observado, establece las bases metodológicas para estudiar otros tipos de sincronización compleja. Esta es otra contribución importante de la presente tesis. El Capítulo 4 presenta un resumen de los resultados más relevantes obtenidos. En conjunto, esta investigación proporciona herramientas analíticas y resultados prácticos para el diseño y control de arreglos de osciladores no lineales acoplados. Los hallazgos, en particular la caracterización del potencial Φ8 y la explicación del desplazamiento vertical, establecen una base sólida para futuros estudios en sincronización compleja de sistemas caóticos.