Ciclos límite de sistemas hamiltonianos perturbados y ceros de integrales abelianas

Abstract

In the qualitative theory of differential equations, the study of limit cycles is very important as they provide relevant information for the description of the phase portrait of a differential equation. But nevertheless finding the limiting cycles of a differential equation can be very complicated. Proof of this is that for more than a hundred years the second part of the problem 16 of Hilbert remains without solution. Finally, the work is outlined briefly. In Chapter 1 we describe: The cycles of a Hamiltonian system (real or complex) dH = 0 and the Phenomena that may appear under perturbation -ǫω. The displacement function associated to the family dH - ǫω = 0 and the Tools needed to determine when a cycle of dH = 0 Generates a family boundary cycle. The 1-polynomial differential forms ω are significant for the Problem 2. In Chapter 2 we perform: A description of the study of Abelian integrals. The study of Abelian integrals for H-polynomials type C * of degree ≥ 3. The proof of Theorem 2.1 and some observations on the number of cycles of dH = 0 which generate limit cycles. A description of the Ilyashenko curve associated with the dH-Ǫω = 0 and its properties for polynomials H of type C *. Chapter 3 contains:The study of Abelian integrals for H-polynomials of grade 2 and Proof of Theorem 3.1. A detailed study of Lienard-type systems (in their infinitesimal). Achieving with this the proof of Theorem 3.2.The shape of the Ilyashenko curve associated with the family dH - ǫω = 0 for H 2 grade and C * polynomials.

En la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, el estudio de ciclos lımite es muy importante ya que estos proporcionan información relevante para la descripción del retrato fase de una ecuación diferencial. Sin embargo hallar los ciclos lımite de una ecuación diferencial puede ser muy complicado.Prueba de esto es que por más de cien años la segunda parte del problema 16 de Hilbert permanece sin solución.Para finalizar, se bosqueja de forma breve el desarrollo del trabajo. En el Capıtulo 1 describimos: Los ciclos de un sistema Hamiltoniano (real o complejo) dH = 0 y los fenómenos que pueden aparecer bajo la perturbación −ǫω. La función desplazamiento asociada a la familia dH − ǫω = 0 y las herramientas necesarias para determinar cuándo un ciclo de dH = 0 genera un ciclo lımite de la familia. Las 1-formas diferenciales polinomiales ω que son significativas para el Problema 2. En el Capıtulo 2 realizamos: Una descripción del estudio de integrales Abelianas. El estudio de integrales Abelianas para polinomios H de tipo C ∗ de grado ≥ 3. La demostración del Teorema 2.1 y algunas observaciones sobre el número de ciclos de dH = 0 que generan ciclos lımite. Una descripción de la curva de Ilyashenko asociada a la familia dH − ǫω = 0 y sus propiedades para polinomios H de tipo C ∗. El Capıtulo 3 contiene: El estudio de integrales Abelianas para polinomios H de grado 2 y la prueba del Teorema 3.1. Un estudio detallado de los sistemas de tipo Lienard (en su forma infinitesimal). Logrando con esto la prueba del Teorema 3.2. La forma de la curva de Ilyashenko asociada a la familia dH − ǫω = 0 para polinomios H de grado 2 y de tipo C ∗.