Operador pseudodiferencial en semirrecta y problema de Riemann-Hilbert

Abstract

In the present thesis, we study an initial border problem for a equation Pseudodifferential with more general symbol K (p) = | p | Α, 12 <α <1. The basic question about the number of boundary conditions that must be fixed for the problem is well answered. To build the operator of Green, we propose a new method based on the theory of singular integral-differential equations (see [14, 21]). An important part of the procedure is to solve a Riemann-Hilbert problem: (P) + g (p), where ω is the boundary condition of the type Ω + (p) = W (p) -i∞ <p <+ i∞. The goal is to find two analytical functions, Ω + y Ω - (a sectional analytical function Ω), in the right and left complex half planes, respectively; Such that the boundary condition is satisfied. Two conditions for solving the problem are necessary: First, the function W must satisfy the Hölder condition for all -i∞ <p <+ i∞; And second, the index of the function W must be zero. In the problem that occupies us both conditions fail. To solve this difficulty, we introduce two auxiliary functions, such as that the Hölder conditions and zero-index are satisfied. Once the Green G operator has been constructed, some estimates a priori in spaces L p for G, which are used to demonstrate, via a mapping of contraction, the local and global existence theorems in time. Finally, an asymptotic representation is found for the solution. The results of this thesis are published in the Special Issue: Nonlocal Boundary Value Problems, Journal: Boundary Value Problems.

En la presente tesis, estudiamos un problema inicial de frontera para una ecuación pseudodiferencial con símbolo más general K (p) = |p| α, 12 < α < 1. Se da respuesta a la pregunta básica sobre el número de condiciones de frontera que deben fijarse para que el problema este bien planteado. Para construir el operador de Green, proponemos un nuevo método basado la teoría de ecuaciones integro-diferenciales singulares (véase [14, 21]). Una parte importante en el procedimiento consiste en resolver un problema del tipo Riemann-Hilbert: se obtiene una condición de frontera del tipo Ω + (p) = W (p) Ω − (p) + g (p), donde −i∞ < p < +i∞. La meta consiste en encontrar dos funciones analíticas, Ω + y Ω − (una función seccionalmente analítica Ω), en los semiplanos complejos derecho e izquierdo, respectivamente; tal que la condición de frontera se satisface. Dos condiciones para resolver el problema son necesarias: Primero, la función W debe satisfacer la condición de Hölder para todo −i∞ < p < +i∞; y segundo, el ́índice de la función W debe ser cero. En el problema que nos ocupa ambas condiciones fallan. Para resolver esta dificultad, introducimos dos funciones auxiliares, tales que la condiciones de Hölder índice-cero se satisfacen. Una vez que se ha construido el operador de Green G, se demuestran algunas estimaciones a priori en espacios L p para G, las cuales se utilizan para demostrar, vía un mapeo de contracción, los teoremas de existencia local y global en tiempo. Finalmente, se encuentra una representación asintótica para la solución. Los resultados de la presente tesis se encuentran publicados en el Special Issue: Nonlocal Boundary Value Problems, del Journal: Boundary Value Problems.