Soluciones asintóticas para un problema no lineal de onda

Abstract

This work consists of five chapters and an appendix, organized from the following shape: Chapter 1 of this paper is dedicated to the introduction and begins with a recapitulation of the theory about non-linear EDPs and the place of the methods asymptotic in the solution of these equations. In Chapter 2 we concentrated on developing the basic theory necessary for make work as self-contained as possible. We give a review of fundamental concepts of the functional analysis, of the Fourier series theory, an overview of the theory of distributions and Sobolev Spaces, in particular we demonstrate the important theorem of Sobolev lace. In Chapter 3 we make our first estimates by studying a subproblem of ours, which will take us directly to study the asymptotic estimates of our problem. In Chapter 4 we study our main problem and we aim to obtain the asymptotic estimates that are wanted and the qualitative conditions are given necessary for such asymptotic estimates. It is good to comment that the next step of the research is to make numerical implementations of the problem and make comparisons with articles where they have been found numerical approximations of the solution, since the advantage of our methodology is that we find the exact solution of the problem. The appendix explains the technique used to extend the definition domain of the solution of a particular non-linear partial differential equation.

Este trabajo consta de cinco capítulos y un apéndice, organizados de la siguiente forma: El capítulo 1 de este trabajo está dedicado a la introducción e inicia con una recapitulación de la teoría acerca de las EDP no lineales y el lugar que ocupan los métodos asintóticos en la solución de estas ecuaciones. En el capítulo 2 nos concentramos en desarrollar la teoría básica necesaria para hacer del trabajo lo más autocontenido posible. Damos un repaso a conceptos fundamentales del análisis funcional, de la teoría de las Series de Fourier, una visión general de la teoría de distribuciones y Espacios de Sobolev, en particular demostramos el importante teorema del encaje de Sobolev. En el capítulo 3 hacemos nuestras primeras estimaciones estudiando un subproblema del nuestro, el cual nos llevará directamente a estudiar las estimaciones asintóticas de nuestro problema. En el capítulo 4 estudiamos nuestro problema principal y nos abocamos a obtener las estimaciones asintóticas que se quieren obtener y se dan las condiciones cualitativas necesarias para dichas estimaciones asintóticas. Es bueno comentar que el siguiente paso de la investigación es hacer implementaciones numéricas del problema y hacer comparaciones con artículos donde se han encontrado aproximaciones numéricas de la solución, ya que la ventaja de nuestra metodología es que encontramos la solución exacta del problema. En el apéndice se explica la técnica utilizada para extender el dominio de definición de la solución de una ecuación diferencial parcial en particular no-lineal.