Knowing the geometry of non-singular projective rational surfaces defined over an algebraically closed field of any characteristic is still a problem open and currently has a strong international interest, see for example publications [9], [10], [18], [12], [38] [30], [29], [31], [33], [34], [52], [46] , [48], [49], [50], [51], [54], [55], [61] and [65]. A way to study the geometry of a rational projective surface is through its effective monoid. Here the effective monoid of a projective surface rational singular n, denoted by M (X), is the set of classes ? of divisors on X module the linear equivalence between divisors such that ? is effective. In 1960 Nagata M. has given a family of rational non-singular projective surfaces X whose effective monoids are not finitely generated. The standard example is the explosion of the projective plane at r points in general position, where r is an integer greater than or equal to 9, see [60]. Many authors, such as Campillo A., Ciliberto C., Galindo C., Geramita AV, Harbourne B., Lahyane M., Looijenga E. Miranda R., Monserrat F., Mori S., Person U. to name a few, have attempted to classify such non-singular rational projective surfaces whose effective monools Are finitely generated starting with the case of the surfaces obtained as explosions of the projective plane in nine points (not necessarily in general position), see for example the works [7], [8], [13], [16], [18], [19], [21], [28], [30], [31], [32], [33], [34] ], [46], [47], [48], [49], [50], [54], [55], [58], [59] and [60]. A favorable and definitive answer to this problem when r = 9 is given by Lahyane M. in [47] and [48]. While cases r ? 9 are studied by Rosoff J. in [61]. This leaves the problem open when r is greater than or equal to ten.
Conocer la geometría de las superficies racionales proyectivas no singulares definidas sobre un campo algebraicamente cerrado de cualquier característica es un problema todavía abierto y actualmente tiene un gran interés internacional, ver por ejemplo las publicaciones [9], [10],[18], [12],[38] [30], [29], [31], [33], [34], [52], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [54], [55], [61] y [65]. Una manera de estudiar la geometría de una superficie proyectiva racional es a través de su monoide efectivo. Aquí el monoide efectivo de una superficie proyectiva racional no singular X, denotado por M (X), es el conjunto de las clases α de divisores sobre X módulo la equivalencia lineal entre divisores tal que α es efectiva. En 1960 Nagata M. ha dado una familia de superficies proyectivas racionales no singulares X cuyos monoides efectivos no son finitamente generados. El ejemplo estándar es la explosión del plano proyectivo en r puntos en posición general, donde r es un número entero mayor o igual a 9, ver [60]. Muchos autores, como Campillo A., Ciliberto C., Galindo C., Geramita A. V., Harbourne B., Lahyane M., Looijenga E. Miranda R., Monserrat F., Mori S., Person U. por mencionar algunos, han tratado de clasificar tales superficies proyectivas racionales no singulares cuyos monoides efectivos son finitamente generados iniciando con el caso de las superficies obtenidas como explosiones del plano proyectivo en nueve puntos (no necesariamente en posición general), ver por ejemplo los trabajos [7],[8],[13],[16],[18],[19],[21], [28],[30], [31],[32],[33], [34], [35],[46],[47],[48],[49], [50],[54], [55], [58], [59] y [60]. Una respuesta favorable y definitiva a este problema cuando r = 9 es dada por Lahyane M. en [47] y [48]. Mientras que los casos r ≤ 9 son estudiados por Rosoff J. en [61]. Esto deja el problema abierto cuando r es mayor o igual a diez.
