This thesis consists of two parts. In the first part the existence of families of algebraic geometric codes constructed from Hirzebruch surfaces also tried some of these codes improve certain existing linear codes shown. Moreover, we present two families of codes maximum separation distance. The main results of this part are Theorems 5.3.2, 5.3.5, 5.3.6, and Corollaries 5.3.3 and 5.3.7. In the second part a criterion for the finiteness of Cox rings of extremal surfaces is given, and two characterizations of finiteness Cox rings of rational surfaces and fractionally uncanonical surfaces pencil. These results are in Theorems 8.1.2, 8.2.6 and 8.3.3.
Este trabajo de tesis consta de dos partes. En la primera parte se muestra la existencia de familias de códigos algebraico geométricos construidos a partir de superficies de Hirzebruch, además, probamos que algunos de estos códigos mejoran ciertos códigos lineales ya existentes. Más aún, presentamos dos familias de códigos de máxima distancia de separación. Los resultados principales de esta parte son los Teoremas 5.3.2, 5.3.5 y 5.3.6, y los Corolarios 5.3.3 y 5.3.7. En la segunda parte se da un criterio para la finitud de los anillos de Cox de superficies extrémales, y dos caracterizaciones de la finitud de los anillos de Cox de superficies racionales anticanónicas y superficies fraccionalmente un lápiz. Estos resultados están en los Teoremas 8.1.2, 8.2.6 y 8.3.3.
