This dissertation discusses the complete gravitational collapse of a spherical dust cloud, and a stability analysis of naked singularities arising within this model is also performed. The work starts with the derivation of the Einstein-Euler governing the dynamics of the collapse for a spherical perfect fluid with an arbitrary equation of state. Next, the particular case dust collapse with gene- ric initial data and no particular restrictions is considered. Then, it is performed a deep analysis of the radial light rays, which is important to understand the causal structure of the spacetime and develop a novel numerical algorithm for generating the corresponding conformal diagrams. Also, a sufficient condition on the initial data to generate a globally naked singularity is provided. The second part if this dissertation discusses the stability of the Cauchy horizon associated to a naked singularity resulting from the collapse of a spherical dust cloud. The perturbations were considered to be the propagation of test fields in the vicinity of the central singularity and the Cauchy horizon. First, the hight frequency limit of test fields propagating in the vicinity of the Cauchy horizon is studied, and it is shown that they undergo a uniformly bounded blueshift along incoming and outgoing null rays. Next, it is proved that spherically symmetric test sca- lar fields which propagate under reasonable physical initial conditions are uniformly bounded in a vicinity of the central singularity and along the Cauchy horizon. The numerical evolution of non-spherical test fields was than performed in the vicinity of the singularity, which did not show evidence of instability.
En esta tesis se discute el colapso gravitacional total de una nube de polvo esféricamente simétrica y se lleva a cabo un análisis de estabilidad de las singularidades desnudas que aparecen dentro del modelo. El trabajo comienza con la derivación de las ecuaciones de Einstein-Euler que gobiernan la dinámica del colapso de un fluido perfecto con una ecuación de estado arbitraria. Enseguida se considera el caso particular de polvo con datos iniciales genéricos y sin restricciones particulares. Después se realiza un profundo análisis de los rayos nulos, el cual es importante para entender la estructura causal del espacio-tiempo y desarrollar un algoritmo numérico para general los diagramas conformes correspondientes. También se da una condición suficiente sobre el dato inicial del colapso para la formación de una singularidad globalmente desnuda. La segunda parte de esta tesis estudia a estabilidad del horizonte de Cauchy asociado a una singularidad desnuda proveniente del colapso total de una nube de polvo esférica. Como perturbación se considera la propagación de campos de prueba en la vecindad de la singularidad central y del horizonte de Cauchy. Primero se estudia el régimen de altas frecuencias de los campos y se demuestra que éstos experimentan un corrimiento al azul uniformemente acotado a lo largo de rayos nulos entrantes y salientes. Enseguida, en el régimen de bajas frecuencias, se demuestra que los campos de prueba esféricos que se propagan cerca de la singularidad con datos iniciales regulares, son uniformemente acotados en tal vecindad y a lo largo del horizonte de Cauchy. Después se realizan estudios numéricos de la evolución de campos de prueba fuera de simetría esférica en la vecindad de la singularidad, sin encontrar evidencia de inestabilidades.
