Sobre la construcción de funciones de Dulac para campos vectoriales bidimensionales

Abstract

In the qualitative theory of dierential equations, the Bendixson-Dulac criterion is a very useful tool for the study of limit cycles, however its implementation requires an auxiliary function, called Dulac function, for which, there are no general procedures to obtain it. The main interest of this thesis is the study of such functions and their applications. We first developed a method for constructing Dulac function in the case of simply connected domains using partial differential equations. Then we study several characteristics of these functions, for example, we introduce the set of functions of Dulac, we give some relations between the Dulac functions of a field and some perturbations, we consider sufficient conditions for a sum of vector fields admits Dulac functions. We also study the behavior of Dulac functions if we transform a vector field by a diffeomorphism, among others. Subsequently, we generalize our construction method to the case of multiply connected domains in this context the Bendixson-Dulac criteria give upper bounds for the number of limit cycles. Finally using our methods we studied su?cient conditions for nonexistence, uniqueness and some bounds on the number of limit cycles for certain special systems like: Liénard systems, generalized Liénard systems and Kukles type systems.

En la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, el criterio de Bendixson-Dulac es una herramienta muy útil para el estudio de los ciclos límite, sin embargo, su implementación requiere de una función auxiliar, llamada función de Dulac, para la cual, no hay procedimientos generales a fin de obtenerla. El interés principal de esta tesis es el estudio de las funciones y sus aplicaciones. Primero desarrollamos un método para construir la función Dulac en el caso de dominios simplemente conexos usando ecuaciones diferenciales parciales. Luego estudiamos varias características importantes de estas funciones, por ejemplo, se introduce el conjunto de funciones de Dulac, también estudiamos algunas relaciones entre las funciones de Dulac de un campo vectorial con otro campo perturbado, consideramos condiciones su cientes para que una suma de los campos de vectores admita funciones Dulac. Además se estudia el comportamiento de las funciones Dulac si transformamos un campo vectorial por un difeomorfismo, entre otros. Posteriormente, se generaliza el método de construcción para el caso de los dominios múltiplemente conexos, en este contexto los criterios Bendixson-Dulac dan cotas superiores para estimar el número de ciclos límite. Finalmente con el uso de nuestros métodos se estudiaron las condiciones suficientes para la existencia, unicidad y algunas cotas en el número de ciclos límite para ciertos sistemas especiales como: sistemas Liénard, sistemas Liénard generalizadas y los sistemas de tipo Kukles.