We consider first order gravity in three and four dimensions. In particular, we consider formulations where the fundamental variables are a triad and tetrad, e, and a SO (2; 1) and SO (3; 1) connections, w, for the three and four dimensional case respectively. We consider spacetimes that include a boundary at infinity, satisfying asymptotically flat boundary conditions and/or an internal boundary satisfying isolated horizons boundary conditions. For our analysis we employ the covariant Hamiltonian formalism where the phase space G is given by solutions to the equation of motion, and for the three dimensional case we also employ two 2+1??decompositions. We propose a three dimensional manifestly Lorentz invariant well posed Palatini action under asymptotically flat boundary conditions. By using a covariant analysis and two different 2+1??decompositions we found the corresponding expressions for the energy. Also we study the most general four dimensional action principle compatible with diffeomorphism invariance. This implies, in particular, considering besides the standard Einstein-Hilbert-Palatini term, other terms that either do not change the equations of motion, or are topological in nature. Having a well-defined action principle also implies adding additional boundary terms, whose detailed form may depend on the particular boundary conditions at hand. For each of the possible terms contributing to the action we study the well posedness of the action, its finiteness, the contribution to the symplectic structure, and the Hamiltonian and Noether charges. Furthermore, we show that the boundary and topological terms do not contribute to the symplectic structure, nor the Hamiltonian conserved charges. The Noether conserved charges, on the other hand, do depend on such additional terms.
Consideramos gravedad en el formalismo de primer orden en tres y cuatro dimensiones. En particular, consideramos formulaciones donde las variables fundamentales son una triada y tétrada e, y conexiones SO (2; 1) and SO (3; 1), w, para tres y cuatro dimensiones respectivamente. Consideramos espacios tiempo que incluyen una frontera en infinito, que satisface condiciones de frontera asintóticamente planas y/o una frontera interna que satisface condiciones de frontera de horizontes aislados. Para nuestro análisis empleamos el formalismo hamiltoniano covariante donde el espacio fase G está dado por soluciones a las ecuaciones de movimiento, y para el caso en tres dimensiones también utilizamos dos descomposiciones 2+1. Proponemos una acción de Palatini bien definida y manifiestamente invariante de Lorentz bajo condiciones asintóticamente planas. Usando el formalismo covariante y canónico encontramos sus correspondientes expresiones para la energía. También estudiamos el principio de acción más general 4-dimensional compatible con la invarianza bajo difeomorfismos. Esto implica, en particular, considerar además del término estándar de Einstein-Hilbert-Palatini, otros términos que o no modifican las ecuaciones de movimiento o son topológicos. Tener un principio de acción bien definido implica la adición de términos de frontera, cuya forma explícita puede depender de las condiciones de frontera en cuestión. Para cada uno de los posibles términos de la acción mostramos que la acción está bien definida, su finitud, su contribución a la estructura simpléctica, y las cargas hamiltoniana y de Noether. Más aún, mostramos que los términos de frontera y topológicos no contribuyen a la estructura simpléctica, ni tampoco a la carga hamiltoniana conservada. Las cargas conservadas de Noether, por el contrario, sí dependen de la adición de tales términos.
